2. f(x) = (1+4x²)(1+2x²) найти производную

Чтобы найти производную функции \( f(x) = (1 + 4x^2)(1 + 2x^2) \), мы можем использовать правило произведения. Правило произведения утверждает, что если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения \( f(x) = u(x)v(x) \) равна:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

В нашем случае:

• \( u(x) = 1 + 4x^2 \)
• \( v(x) = 1 + 2x^2 \)

Теперь найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):

1. \( u'(x) = \frac{d}{dx}(1 + 4x^2) = 8x \)
2. \( v'(x) = \frac{d}{dx}(1 + 2x^2) = 4x \)

Теперь подставим \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (8x)(1 + 2x^2) + (1 + 4x^2)(4x) \]

Теперь упростим каждую часть:

1. \( (8x)(1 + 2x^2) = 8x + 16x^3 \)
2. \( (1 + 4x^2)(4x) = 4x + 16x^3 \)

Теперь объединим все элементы:

\[ f'(x) = (8x + 16x^3) + (4x + 16x^3) = 12x + 32x^3 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = 12x + 32x^3 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме или другим разделам математики, не стесняйтесь спрашивать!