Библиотека из фонда детских книг передала интернату половину книг и ещё 30 книг,после этого она передала половину оставшихся и ещё 10 книг. в библиотеке осталось 150 детских книг.сколько детских книг было в библиотеке первоночально.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество книг в библиотеке изначально как \( x \).

2. Согласно условию, библиотека передала интернату половину книг и ещё 30 книг. Тогда количество книг, переданных интернату, можно описать так: \[ \frac{x}{2} + 30 \] После этой передачи в библиотеке осталось: \[ x - \left(\frac{x}{2} + 30\right) = \frac{x}{2} - 30 \]

3. Далее библиотека передала интернату половину оставшихся книг и ещё 10 книг. Количество оставшихся книг на этот момент составило \( \frac{x}{2} - 30 \). Половина оставшихся книг: \[ \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2} - 30\right) = \frac{x}{4} - 15 \] Тогда общее количество книг, переданных интернату во второй раз: \[ \frac{x}{4} - 15 + 10 = \frac{x}{4} - 5 \] После этого в библиотеке останется: \[ \left(\frac{x}{2} - 30\right) - \left(\frac{x}{4} - 5\right) \]

4. Теперь упрощаем оставшиеся книги: \[ \frac{x}{2} - 30 - \left(\frac{x}{4} - 5\right) = \frac{x}{2} - 30 - \frac{x}{4} + 5 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{4} - 30 + 5 - \frac{x}{4} = \frac{2x - x}{4} - 25 = \frac{x}{4} - 25 \] Теперь согласно условию, в библиотеке осталось 150 книг, значит: \[ \frac{x}{4} - 25 = 150 \] Добавим 25 к обеим частям уравнения: \[ \frac{x}{4} = 175 \] Умножим обе стороны на 4: \[ x = 700 \]

Таким образом, изначально в библиотеке было 700 детских книг.