Площадь прямоугольника равна 12. Найдите площадь ромба, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

Для решения задачи начнем с определения свойств прямоугольника и ромба, образованного его вершинами.

1. Пусть прямоугольник имеет длину \( a \) и ширину \( b \). Тогда его площадь \( S_{\text{прям}} = a \cdot b = 12 \).

2. Вершины ромба являются серединами сторон данного прямоугольника. Можно провести прямоугольник в координатной плоскости. Пусть его вершины находятся в точках \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \). Тогда середины сторон будут в следующих точках:

   • \( M_1 \) — середина \( AB\): \( M_1\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
   • \( M_2 \) — середина \( BC\): \( M_2\left(a, \frac{b}{2}\right) \)
   • \( M_3 \) — середина \( CD\): \( M_3\left(\frac{a}{2}, b\right) \)
   • \( M_4 \) — середина \( DA\): \( M_4\left(0, \frac{b}{2}\right) \)

3. Теперь найдем длины диагоналей ромба. Диагонали ромба, соединяющие противоположные середины, будут равны:

   • Первая диагональ \( d_1 = M_1M_3 = b \) (от \( M_1 \) до \( M_3 \))
   • Вторая диагональ \( d_2 = M_2M_4 = a \) (от \( M_2 \) до \( M_4 \))

4. Площадь ромба можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{ромб}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Подставим значения: \[ S_{\text{ромб}} = \frac{b \cdot a}{2} = \frac{S_{\text{прям}}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, площадь ромба, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника, равна \( 6 \).