Площадь прямоугольника равна 12. Найдите площадь ромба, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Из условия задачи известно, что его площадь равна 12:

\[ S_{\text{прямоугольника}} = a \cdot b = 12 \]

Вершинами ромба являются середины сторон прямоугольника. Чтобы найти площадь ромба, воспользуемся тем, что площадь ромба можно выразить через длины его диагоналей.

Сначала найдем длины диагоналей ромба. Стороны прямоугольника имеют длину \(a\) и \(b\). Середины сторон прямоугольника будут находиться на следующем расстоянии:

• Расстояние между двумя соседними серединами (например, между серединами сторон длиной \(a\)) составляет \(\frac{b}{2}\).
• Расстояние между двумя противоположными серединами (например, между серединами сторон длиной \(a\) и \(b\)) составляет \(\frac{a}{2}\).

Таким образом, длины диагоналей ромба \(d_1\) и \(d_2\) равны:

\[ d_1 = a \quad \text{(диагональ, проходящая через две середины длинных сторон)} \] \[ d_2 = b \quad \text{(диагональ, проходящая через две середины коротких сторон)} \]

Площадь ромба можно найти по формуле:

\[ S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{a \cdot b}{2} \]

Подставив \(a \cdot b = 12\):

\[ S_{\text{ромба}} = \frac{12}{2} = 6 \]

Ответ: площадь ромба равна 6.