Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Посмотреть все вопросы нейросети
Мобильное приложение ГДЗ grid

Мобильное приложение ГДЗ

Задавай вопросы искуcственному интеллекту текстом или фотографиями в приложении на iPhone или Android

qr-codegoogle-playapp-store

Вопрос от Анонимного юзера 11 декабря 2024 12:59

Дан четырехугольник с вершинами A (-2;-2), B (-3;1), C ( 7;7) и D (3;-1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Ответ нейросети

11 декабря 2024 12:59

Чтобы найти синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD, сначала определим координаты вершин:

  • A (-2; -2)
  • B (-3; 1)
  • C (7; 7)
  • D (3; -1)

Диагонали четырёхугольника ABCD — это AC и BD.

  1. Находим векторы диагоналей:

    • Вектор AC: [ \overrightarrow{AC} = C - A = (7 - (-2), 7 - (-2)) = (9, 9) ]
    • Вектор BD: [ \overrightarrow{BD} = D - B = (3 - (-3), -1 - 1) = (6, -2) ]
  2. Находим длины векторов AC и BD:

    • Длина вектора AC: [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} ]
    • Длина вектора BD: [ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]
  3. Находим скалярное произведение векторов AC и BD: [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36 ]

  4. Находим косинус угла между векторами: [ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BD}|} = \frac{36}{(9\sqrt{2})(2\sqrt{10})} = \frac{36}{18\sqrt{20}} = \frac{36}{18 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

  5. Находим синус угла с помощью формулы: Используем агрегатную формулу синуса: (\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1).

    Найдём (\sin^2(\theta)): [ \sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} ]

    Следовательно, [ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Таким образом, синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD равен (\frac{\sqrt{5}}{5}).

Задай свой вопрос

Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит

Похожие вопросы

15

Саша — ассистент в телеграмме

Дан четырехугольник с вершинами A (-2;-2), B (-3;1), C ( 7;7) и D (3;-1). Найдите синус угла между его диагоналями.
Чтобы найти синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD, сначала определим координаты вершин: - A (-2; -2) - B (-3; 1) - C (7; 7) - D (3; -1) Диагонали четырёхугольника ABCD — это AC и BD. 1. **Находим векторы диагоналей:** - Вектор AC: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (7 - (-2), 7 - (-2)) = (9, 9) \] - Вектор BD: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (3 - (-3), -1 - 1) = (6, -2) \] 2. **Находим длины векторов AC и BD:** - Длина вектора AC: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \] - Длина вектора BD: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] 3. **Находим скалярное произведение векторов AC и BD:** \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36 \] 4. **Находим косинус угла между векторами:** \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BD}|} = \frac{36}{(9\sqrt{2})(2\sqrt{10})} = \frac{36}{18\sqrt{20}} = \frac{36}{18 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] 5. **Находим синус угла с помощью формулы:** Используем агрегатную формулу синуса: \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\). Найдём \(\sin^2(\theta)\): \[ \sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \] Следовательно, \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Таким образом, синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD равен \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).