Дан четырехугольник с вершинами A (-2;-2), B (-3;1), C ( 7;7) и D (3;-1). Найдите синус угла между его диагоналями.
Чтобы найти синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD, сначала определим координаты вершин:
- A (-2; -2)
- B (-3; 1)
- C (7; 7)
- D (3; -1)
Диагонали четырёхугольника ABCD — это AC и BD.
Находим векторы диагоналей:
- Вектор AC: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (7 - (-2), 7 - (-2)) = (9, 9) \]
- Вектор BD: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (3 - (-3), -1 - 1) = (6, -2) \]
Находим длины векторов AC и BD:
- Длина вектора AC: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \]
- Длина вектора BD: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Находим скалярное произведение векторов AC и BD: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36 \]
Находим косинус угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BD}|} = \frac{36}{(9\sqrt{2})(2\sqrt{10})} = \frac{36}{18\sqrt{20}} = \frac{36}{18 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Находим синус угла с помощью формулы: Используем агрегатную формулу синуса: \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\).
Найдём \(\sin^2(\theta)\): \[ \sin^2(\theta) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]
Следовательно, \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Таким образом, синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD равен \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).
