Задача 7. Из города А в город В, расстояние между которыми 235 км, выехал велосипедист. Через 2,5 часа навстречу ему из города В выехал автомобилист. На каком расстоянии от города…

Задача 7.

Давайте решим её шаг за шагом.

1. Определим время, через которое встретятся велосипедист и автомобилист.

   Пусть \( t \) — время в часах, прошедшее с момента выезда велосипедиста до их встречи. Велосипедист выехал первым и проехал за это время расстояние \( 25t \) км, поскольку его скорость 25 км/ч.

   Автомобилист выехал только через 2,5 часа, то есть он ехал \( t - 2.5 \) часа. За это время он проехал расстояние \( 90(t - 2.5) \) км, так как его скорость 90 км/ч.

2. Составим уравнение.

   Суммарное расстояние между городами А и В составляет 235 км, поэтому можно записать уравнение:

   \[ 25t + 90(t - 2.5) = 235 \]

3. Решим уравнение.

   25t + 90t - 225 = 235
   115t - 225 = 235
   115t = 235 + 225
   115t = 460
   t = \frac{460}{115} = 4

4. Теперь находим, на каком расстоянии от города А они встретятся.

   Подставим \( t = 4 \) в формулу для расстояния, пройденного велосипедистом:

   \[ 25t = 25 \times 4 = 100 \text{ км} \]

Таким образом, велосипедист и автомобилист встретятся на расстоянии 100 км от города А.

Задача 8.

Решим эту задачу, обозначив количество конфет, купленных Васей, как \( x \).

1. Используем первое условие: Если Вася раздает по 3 конфеты, то у него остается 7 конфет. У нас получится уравнение:

   \[ x - 3n = 7 \] где \( n \) — количество друзей, которым он раздает конфеты.

2. Используем второе условие: Если он раздает по 4 конфеты, то ему не хватает 5 конфет:

   \[ x - 4m = -5 \] где \( m \) — количество друзей в этом случае.

3. Мы можем выразить \( n \) и \( m \) через \( x \) из этих уравнений.

   Из первого уравнения выражаем \( n \):

   \[ n = \frac{x - 7}{3} \]

   Из второго уравнения выражаем \( m \):

   \[ m = \frac{x + 5}{4} \]

4. Так как \( n \) и \( m \) — это количество людей, то они должны быть целыми числами. Это означает, что выражения \( \frac{x - 7}{3} \) и \( \frac{x + 5}{4} \) должны быть целыми.

5. Теперь найдем общие значения \( x \).

   Мы выразили \( n \) и \( m \) через \( x \) в требуемом формате, теперь подберем \( x \):

   Применим некоторые значения для \( x \):

   Например, пусть \( x = 19 \):

   • \( n = \frac{19 - 7}{3} = 4 \) (целое)
   • \( m = \frac{19 + 5}{4} = 6 \) (целое)

   Подходящее значение \( x = 19 \) подходит под оба условия.

Таким образом, Вася купил 19 конфет.