В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите периметр этого треугольника
В прямоугольном треугольнике биссектрисса угла делит гипотенузу на два отрезка, и длины этих отрезков равны 20 см и 15 см. Обозначим гипотенузу \( c \), один катет \( a \) и другой катет \( b \). В данном случае гипотенуза будет равна сумме отрезков:
\[ c = 20 \, \text{см} + 15 \, \text{см} = 35 \, \text{см}. \]
В прямоугольном треугольнике существует важное свойство, связанное с биссектрисой: длины отрезков, на которые она делит гипотенузу, равны отношению катетов. Таким образом, можно записать следующее соотношение:
\[ \frac{a}{b} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}. \]
Это означает, что \( a = \frac{4}{3}b \).
Теперь подставим выражение для \( a \) в теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2. \]
Заменим \( a \):
\[ \left(\frac{4}{3}b\right)^2 + b^2 = 35^2. \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{16}{9}b^2 + b^2 = 1225. \]
Перепишем \( b^2 \) в виде дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = 1225. \]
Сложим дроби:
\[ \frac{25}{9}b^2 = 1225. \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 9:
\[ 25b^2 = 11025. \]
И разделим на 25:
\[ b^2 = 441. \]
Следовательно, \( b = \sqrt{441} = 21 \, \text{см} \).
Теперь найдем длину катета \( a \):
\[ a = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28 \, \text{см}. \]
Теперь у нас есть длины всех сторон:
- \( a = 28 \, \text{см} \),
- \( b = 21 \, \text{см} \),
- \( c = 35 \, \text{см} \).
Теперь можем найти периметр треугольника, просто сложив все длины сторон:
\[ P = a + b + c = 28 + 21 + 35 = 84 \, \text{см}. \]
Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника равен 84 см.
