В прямоугольном треугольнике биссектрисса угла делит гипотенузу на два отрезка, и длины этих отрезков равны 20 см и 15 см. Обозначим гипотенузу ( c ), один катет ( a ) и другой катет ( b ). В данном случае гипотенуза будет равна сумме отрезков:
[
c = 20 , \text{см} + 15 , \text{см} = 35 , \text{см}.
]
В прямоугольном треугольнике существует важное свойство, связанное с биссектрисой: длины отрезков, на которые она делит гипотенузу, равны отношению катетов. Таким образом, можно записать следующее соотношение:
[
\frac{a}{b} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}.
]
Это означает, что ( a = \frac{4}{3}b ).
Теперь подставим выражение для ( a ) в теорему Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2.
]
Заменим ( a ):
[
\left(\frac{4}{3}b\right)^2 + b^2 = 35^2.
]
Раскроем скобки:
[
\frac{16}{9}b^2 + b^2 = 1225.
]
Перепишем ( b^2 ) в виде дроби с общим знаменателем:
[
\frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = 1225.
]
Сложим дроби:
[
\frac{25}{9}b^2 = 1225.
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 9:
[
25b^2 = 11025.
]
И разделим на 25:
[
b^2 = 441.
]
Следовательно, ( b = \sqrt{441} = 21 , \text{см} ).
Теперь найдем длину катета ( a ):
[
a = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28 , \text{см}.
]
Теперь у нас есть длины всех сторон:
- ( a = 28 , \text{см} ),
- ( b = 21 , \text{см} ),
- ( c = 35 , \text{см} ).
Теперь можем найти периметр треугольника, просто сложив все длины сторон:
[
P = a + b + c = 28 + 21 + 35 = 84 , \text{см}.
]
Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника равен 84 см.