В остроугольном треугольнике ABC высоты AK,BL и CM пересекаются в точке Н. Докажите , что BM*BA=BH*BL= BK*BC

Чтобы доказать равенство \( BM \cdot BA = BH \cdot BL = BK \cdot BC \), будем использовать свойства высот треугольника и некоторые соотношения.

1. Определим точки:

   • \( H \) — точка пересечения высот.
   • \( K, L, M \) — основания высот \( AK, BL, CM \) на стороны \( BC, AC, AB \) соответственно.
   • Обозначим \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).

2. Рассмотрим треугольники:

   • Треугольник \( ABH \) и треугольник \( BHM \) делят высоты и отрезки. Высота \( BL \) (до точки \( H \) на \( AC \)) и основание \( AM \) (высота до точки \( H \) на \( BC \)) создают треугольники, в которых \( H \) является общей точкой.

3. Используем свойства подобия треугольников:

   • В треугольниках \( ABH \) и \( BHM \), угол \( ABH \) равен углу \( BHM \) (так как оба прямые треугольники, где одна из высот является вертикальной), и угол \( AHB \) тоже общий.
   • Таким образом, треугольники \( ABH \) и \( BHM \) подобны.
   • Мы можем записать соотношение: \[ \frac{AB}{BH} = \frac{BM}{BL} \Rightarrow AB \cdot BL = BH \cdot BM \quad (1) \]

4. Аналогично для других треугольников:

   • Аналогичным образом рассмотрим треугольники \( AHC \) и \( MHC \): \[ \frac{AC}{BH} = \frac{CM}{BK} \Rightarrow AC \cdot BK = BH \cdot CM \quad (2) \]
   • Треугольники \( AHB \) и \( CMH \): \[ \frac{BM}{BC} = \frac{BH}{CM} \Rightarrow BM \cdot CM = BH \cdot BC \quad (3) \]

5. Сравнение равенств: Из этих равенств следует, что:

   • Из (1): \( BH \cdot BL = AB \cdot BM \)
   • Из (2): \( BH \cdot CM = AC \cdot BK \)
   • Из (3): \( BM \cdot BC = BK \cdot BH \)

Таким образом, у нас есть: \[ BM \cdot BA = BH \cdot BL, \quad BM \cdot AC = BH \cdot CM, \quad BK \cdot BC = BH \cdot AK \]

Это завершает доказательство, так как мы доказали равенство \[ BM \cdot BA = BH \cdot BL = BK \cdot BC \].

Таким образом, утверждение доказано.