Треугольники DEF и MNK подобны. Стороны треугольника DEF относятся как 4: 5:7. Периметр треугольника MNK равен 128. Найдите стороны треугольника MNK.

Для нахождения сторон треугольника MNK, воспользуемся тем, что треугольники DEF и MNK подобны, а значит, их стороны пропорциональны.

Пусть стороны треугольника DEF равны \(4x\), \(5x\) и \(7x\). Тогда его периметр будет:

\[ 4x + 5x + 7x = 16x \]

Поскольку периметр треугольника MNK равен 128, то можно составить уравнение:

\[ 16x = 128 \]

Решим это уравнение для \(x\):

\[ x = \frac{128}{16} = 8 \]

Теперь можем найти стороны треугольника DEF, подставив значение \(x\):

\[ 4x = 4 \cdot 8 = 32, \] \[ 5x = 5 \cdot 8 = 40, \] \[ 7x = 7 \cdot 8 = 56. \]

Таким образом, стороны треугольника DEF равны 32, 40 и 56.

Стороны треугольника MNK будут пропорциональны сторонам DEF, и в рамках данной пропорции мы можем записать:

Стороны MNK будут равны:

\[ k \cdot 4, \quad k \cdot 5, \quad k \cdot 7, \]

где \(k\) — коэффициент подобия. Известно, что:

\[ k \cdot (4 + 5 + 7) = 128 \implies k \cdot 16 = 128 \implies k = 8. \]

Теперь можем найти стороны треугольника MNK:

\[ k \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32, \] \[ k \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40, \] \[ k \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56. \]

Таким образом, стороны треугольника MNK равны 32, 40 и 56.