Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Посмотреть все вопросы нейросети
Мобильное приложение ГДЗ grid

Мобильное приложение ГДЗ

Задавай вопросы искуcственному интеллекту текстом или фотографиями в приложении на iPhone или Android

qr-codegoogle-playapp-store

Вопрос от Анонимного юзера 11 декабря 2024 14:18

1. Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем 1/4. 2. В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу. 3. В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

Ответ нейросети

11 декабря 2024 14:18

Давайте решим каждую из задач по очереди.

Задача 1

Сторона квадрата равна 1. Мы хотим найти вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем ( \frac{1}{4} ).

Квадрат имеет стороны, параллельные осям координат, и его углы находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1).

Чтобы расстояние до ближайшей стороны квадрата было ( \leq \frac{1}{4} ), точка должна находиться в области, расположенной как близко к сторонам квадрата. Мы можем рассмотреть "внутренний" квадрат, который будет отступать от каждой стороны на ( \frac{1}{4} ).

Таким образом, размеры внутреннего квадрата будут:

  • Слева: ( x \geq \frac{1}{4} )
  • Справа: ( x \leq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} )
  • Снизу: ( y \geq \frac{1}{4} )
  • Сверху: ( y \leq \frac{3}{4} )

Ширина и высота этого внутреннего квадрата составляют ( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ).

Площадь внутреннего квадрата:

[ S_{\text{внутренний}} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} ]

Площадь всего квадрата равна 1. Тогда вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше ( \frac{1}{4} ):

[ P = 1 - S_{\text{внутренний}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ]

Задача 2

В квадрате со стороной 1 мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

Площадь круга, вписанного в квадрат, со стороны 1 равна:

[ S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} ]

Площадь всего квадрата:

[ S_{\text{квадрата}} = 1 ]

Теперь вероятность того, что точка не принадлежит кругу:

[ P = 1 - \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = 1 - \frac{\pi}{4} ]

Задача 3

Теперь необходимо найти вероятность того, что точка, случайным образом выбранная в круге радиуса ( R = \frac{1}{2} ), принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

Площадь круга:

[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} ]

Площадь вписанного в круг квадрата:

Квадрат будет иметь сторону ( R\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ) (поскольку диагональ квадрата равна ( R \times 2 = 1 )):

[ S_{\text{квадрата}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

Теперь вероятность того, что случайно выбранная точка находится в квадрата, вписанном в круг:

[ P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\pi} ]

Ответы

  1. ( \frac{3}{4} )
  2. ( 1 - \frac{\pi}{4} )
  3. ( \frac{2}{\pi} )

Задай свой вопрос

Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит

Похожие вопросы

15

Саша — ассистент в телеграмме

1. Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем 1/4. 2. В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу. 3. В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.
Давайте решим каждую из задач по очереди. ### Задача 1 Сторона квадрата равна 1. Мы хотим найти вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем \( \frac{1}{4} \). Квадрат имеет стороны, параллельные осям координат, и его углы находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Чтобы расстояние до ближайшей стороны квадрата было \( \leq \frac{1}{4} \), точка должна находиться в области, расположенной как близко к сторонам квадрата. Мы можем рассмотреть "внутренний" квадрат, который будет отступать от каждой стороны на \( \frac{1}{4} \). Таким образом, размеры внутреннего квадрата будут: - Слева: \( x \geq \frac{1}{4} \) - Справа: \( x \leq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) - Снизу: \( y \geq \frac{1}{4} \) - Сверху: \( y \leq \frac{3}{4} \) Ширина и высота этого внутреннего квадрата составляют \( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \). Площадь внутреннего квадрата: \[ S_{\text{внутренний}} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \] Площадь всего квадрата равна 1. Тогда вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше \( \frac{1}{4} \): \[ P = 1 - S_{\text{внутренний}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] ### Задача 2 В квадрате со стороной 1 мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу. Площадь круга, вписанного в квадрат, со стороны 1 равна: \[ S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \] Площадь всего квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = 1 \] Теперь вероятность того, что точка не принадлежит кругу: \[ P = 1 - \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = 1 - \frac{\pi}{4} \] ### Задача 3 Теперь необходимо найти вероятность того, что точка, случайным образом выбранная в круге радиуса \( R = \frac{1}{2} \), принадлежит вписанному в этот круг квадрату. Площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \] Площадь вписанного в круг квадрата: Квадрат будет иметь сторону \( R\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) (поскольку диагональ квадрата равна \( R \times 2 = 1 \)): \[ S_{\text{квадрата}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Теперь вероятность того, что случайно выбранная точка находится в квадрата, вписанном в круг: \[ P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\pi} \] ### Ответы 1. \( \frac{3}{4} \) 2. \( 1 - \frac{\pi}{4} \) 3. \( \frac{2}{\pi} \)