1. Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем 1/4. 2. В квадрате…

Давайте решим каждую из задач по очереди.

Задача 1

Сторона квадрата равна 1. Мы хотим найти вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем \( \frac{1}{4} \).

Квадрат имеет стороны, параллельные осям координат, и его углы находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1).

Чтобы расстояние до ближайшей стороны квадрата было \( \leq \frac{1}{4} \), точка должна находиться в области, расположенной как близко к сторонам квадрата. Мы можем рассмотреть "внутренний" квадрат, который будет отступать от каждой стороны на \( \frac{1}{4} \).

Таким образом, размеры внутреннего квадрата будут:

• Слева: \( x \geq \frac{1}{4} \)
• Справа: \( x \leq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
• Снизу: \( y \geq \frac{1}{4} \)
• Сверху: \( y \leq \frac{3}{4} \)

Ширина и высота этого внутреннего квадрата составляют \( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \).

Площадь внутреннего квадрата:

\[ S_{\text{внутренний}} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \]

Площадь всего квадрата равна 1. Тогда вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше \( \frac{1}{4} \):

\[ P = 1 - S_{\text{внутренний}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Задача 2

В квадрате со стороной 1 мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

Площадь круга, вписанного в квадрат, со стороны 1 равна:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \]

Площадь всего квадрата:

\[ S_{\text{квадрата}} = 1 \]

Теперь вероятность того, что точка не принадлежит кругу:

\[ P = 1 - \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = 1 - \frac{\pi}{4} \]

Задача 3

Теперь необходимо найти вероятность того, что точка, случайным образом выбранная в круге радиуса \( R = \frac{1}{2} \), принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

Площадь круга:

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \]

Площадь вписанного в круг квадрата:

Квадрат будет иметь сторону \( R\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) (поскольку диагональ квадрата равна \( R \times 2 = 1 \)):

\[ S_{\text{квадрата}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь вероятность того, что случайно выбранная точка находится в квадрата, вписанном в круг:

\[ P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\pi} \]

Ответы

1. \( \frac{3}{4} \)
2. \( 1 - \frac{\pi}{4} \)
3. \( \frac{2}{\pi} \)