Давайте решим каждую из задач по очереди.
Задача 1
Сторона квадрата равна 1. Мы хотим найти вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем ( \frac{1}{4} ).
Квадрат имеет стороны, параллельные осям координат, и его углы находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1).
Чтобы расстояние до ближайшей стороны квадрата было ( \leq \frac{1}{4} ), точка должна находиться в области, расположенной как близко к сторонам квадрата. Мы можем рассмотреть "внутренний" квадрат, который будет отступать от каждой стороны на ( \frac{1}{4} ).
Таким образом, размеры внутреннего квадрата будут:
- Слева: ( x \geq \frac{1}{4} )
- Справа: ( x \leq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} )
- Снизу: ( y \geq \frac{1}{4} )
- Сверху: ( y \leq \frac{3}{4} )
Ширина и высота этого внутреннего квадрата составляют ( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ).
Площадь внутреннего квадрата:
[
S_{\text{внутренний}} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}
]
Площадь всего квадрата равна 1. Тогда вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше ( \frac{1}{4} ):
[
P = 1 - S_{\text{внутренний}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
Задача 2
В квадрате со стороной 1 мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.
Площадь круга, вписанного в квадрат, со стороны 1 равна:
[
S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}
]
Площадь всего квадрата:
[
S_{\text{квадрата}} = 1
]
Теперь вероятность того, что точка не принадлежит кругу:
[
P = 1 - \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = 1 - \frac{\pi}{4}
]
Задача 3
Теперь необходимо найти вероятность того, что точка, случайным образом выбранная в круге радиуса ( R = \frac{1}{2} ), принадлежит вписанному в этот круг квадрату.
Площадь круга:
[
S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}
]
Площадь вписанного в круг квадрата:
Квадрат будет иметь сторону ( R\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ) (поскольку диагональ квадрата равна ( R \times 2 = 1 )):
[
S_{\text{квадрата}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
Теперь вероятность того, что случайно выбранная точка находится в квадрата, вписанном в круг:
[
P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\pi}
]
Ответы
- ( \frac{3}{4} )
- ( 1 - \frac{\pi}{4} )
- ( \frac{2}{\pi} )