Дано: AQ=RF, RQ=AF Найти AR, если P aqr= 15 см, P aqrf= 18 см Доказать, что ∆AQR=∆RFA

Для решения данной задачи начнем с анализа данных и необходимой информации.

У нас есть треугольники \( AQR \) и \( RFA \), где дано:

1. \( AQ = RF \)
2. \( RQ = AF \)
3. Периметр \( P_{AQR} = 15 \) см
4. Периметр \( P_{AQRF} = 18 \) см

Сначала найдем, сколько составляет длина стороны \( AR \) через периметры.

Периметр \( P_{AQR} \) рассчитывается как сумма длин всех сторон треугольника: \[ P_{AQR} = AQ + QR + AR = 15 \text{ см} \]

Периметр \( P_{AQRF} \) включает в себя все стороны многоугольника \( AQR \) и \( RF \): \[ P_{AQRF} = AQ + QR + AR + RF = 18 \text{ см} \]

Теперь вычтем первый периметр из второго: \[ P_{AQRF} - P_{AQR} = RF = 18 \text{ см} - 15 \text{ см} = 3 \text{ см} \]

Теперь подставим \( RF \) в равенство \( AQ = RF \): \[ AQ = 3 \text{ см} \]

Следовательно, можем подставить значение \( AQ \) обратно в уравнение для периметра \( P_{AQR} \): \[ 3 + QR + AR = 15 \] \[ QR + AR = 15 - 3 = 12 \text{ см} \]

Теперь обратим внимание на равенства \( RQ = AF \) и \( AQ = RF \): Поскольку мы знаем, что \( RQ = AF \), можем обозначить их как \( x \): \[ RQ = AF = x \]

Теперь можем выразить \( AR \): \[ QR + AR = 12 \] Подставляем \( RQ = x \) в это уравнение. Так как \( QR = x \): \[ x + AR = 12 \] Таким образом, \( AR = 12 - x \).

Теперь у нас есть следующие равенства:

1. \( AQ = 3 \text{ см} \)
2. \( RQ = x \text{ см} \)
3. \( RF = 3 \text{ см} \)
4. \( AF = x \text{ см} \)

Проверка равенства треугольников \( \Delta AQR \) и \( \Delta RFA \):

• \( AQ = RF \) (по условию)
• \( RQ = AF \) (по условию)
• \( AR = AR \) (общая сторона)

По критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (\( SSS \) — сторона-сторона-сторона), мы можем сделать вывод, что: \[ \Delta AQR \cong \Delta RFA \]

Таким образом, мы доказали, что \( \Delta AQR = \Delta RFA \).