Дуга AB окружности радиуса равна 60°. На продолжение хорды AB за точку B отмечена точка C так, чтобы BC =AB, и через неё проведена прямая, касающаяся окружности в точке K. Найдите CK.

Для решения задачи начнем с анализа ситуации.

1. Пусть радиус окружности равен \( R \). В данном случае \( R = 1 \) (без потери общности, так как в формуле не будет зависимости от конкретного радиуса).
2. Дуга AB соответствующая углу \( 60^\circ \) в окружности создает равнобедренный треугольник OAB, где O - центр окружности.
3. Угол AOB равен \( 60^\circ \), что значит, что стороны OA и OB равны радиусу окружности (в нашем случае \( 1 \)).
4. Рассмотрим хорду AB. Известно, что её длина \( AB = 2R \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2R \sin(30^\circ) = R \).

Таким образом, длина AB: \[ AB = R = 1 \]

5. Отметим точку C так, что \( BC = AB = 1 \).

6. Определим координаты точек. Пусть O находится в начале координат (0, 0), A и B будут соответственно иметь координаты:

   • A: \( (R \cos(-30^\circ), R \sin(-30^\circ)) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) \)
   • B: \( (R \cos(30^\circ), R \sin(30^\circ)) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)

7. Положение точки C: Так как BC = AB, C будет на прямой, продлевающей хорду AB от точки B дальше на 1, то есть:

   • C: \( B + (B - A) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) + \left(0, 1\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right) \)

8. Теперь найдем уравнение касательной: Касательная к окружности в точке K перпендикулярна радиусу ОK. Угол между наклоном радиуса и осью X может быть найден по координатам точки K.

9. Площадь треугольника OAB помогает получить необходимую длину CK, чтобы решить это, воспользуемся расстоянием от точки C до касательной, которая проводит через K.

10. У нас уже есть точка касания K и запрос на расстояние CK: Длина CK будет равна: \[ CK = OC - OK \]

С конкретными расчетами, можно получить точное значение CK, но по отношению трансляции и спецификации окружности, потребуется конкретизация. Если радиус, то также контексты и точки разъяснения для окончательной длины не корректируются.