На хорде AB окружности с центром O отмечена точка M. Известно, что АМ = 5 см и MB = MO = 4 см. Найдите радиус окружности.

Давайте обозначим радиус окружности как \( R \).

У нас есть точка \( O \), центр окружности, и точка \( M \) на хорде \( AB \). Длина отрезка \( AM = 5 \) см, \( MB = 4 \) см и \( MO = 4 \) см.

Сначала найдем длину хорды \( AB \): \[ AB = AM + MB = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}. \]

Теперь обозначим \( A \) и \( B \) так, чтобы \( M \) находился в середине хорды. Тогда: \[ AM = 5 \text{ см}, \quad MB = 4 \text{ см}. \]

Высота \( h \) из центра \( O \) к хорде \( AB \) будет равна: \[ h = MO = 4 \text{ см}. \]

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике \( OAM \): \[ OA^2 = OM^2 + AM^2. \]

Подставим известные значения: \[ R^2 = 4^2 + 5^2, \] \[ R^2 = 16 + 25 = 41. \] Тогда, \[ R = \sqrt{41}. \]

Таким образом, радиус окружности составляет: \[ R \approx 6.4 \text{ см}. \]