Найдите сумму корней уравнения (x²-2x+6)²=9x².

Для решения уравнения \((x² - 2x + 6)² = 9x²\) начнем с нахождения корней этого уравнения.

1. Раскроем квадрат на левой стороне уравнения: \[(x² - 2x + 6)² = 9x²\]

2. Теперь рассмотрим левую часть уравнения. Поскольку у нас квадрат, давайте введем новую переменную: \(y = x² - 2x + 6\).

3. Таким образом, уравнение можно переписать как: \[y² = 9x²\] или \[y = 3x \quad \text{или} \quad y = -3x\].

4. Подставим обратно \(y\): a) \(x² - 2x + 6 = 3x\) b) \(x² - 2x + 6 = -3x\)

Теперь решим каждое из этих уравнений.

Первое уравнение: \[ x² - 2x + 6 - 3x = 0 \implies x² - 5x + 6 = 0 \] Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу дискриминанта: \[ D = b² - 4ac = (-5)² - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} = \{3, 2\}. \]

Второе уравнение: \[ x² - 2x + 6 + 3x = 0 \implies x² + x + 6 = 0. \] Для данного уравнения найдем дискриминант: \[ D = 1² - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23. \] У этого уравнения нет действительных корней, так как дискриминант отрицательный.

Теперь у нас есть только действительные корни из первого уравнения: \(x = 3\) и \(x = 2\).

5. Найдем сумму корней: \[ 3 + 2 = 5. \]

Таким образом, сумма корней уравнения \((x² - 2x + 6)² = 9x²\) равна \(5\).