2х^2-7х-9<0
Чтобы решить неравенство \(2x^2 - 7x - 9 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 7x - 9 = 0\). Это можно сделать с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = -9\). Подставим эти значения в формулу:
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \]
- Найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 11}{4} \]
Теперь посчитаем два корня:
\[ x_1 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 \] \[ x_2 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Так мы нашли корни \(x_1 = 4.5\) и \(x_2 = -1\). Теперь раскроем неравенство \(2x^2 - 7x - 9 < 0\).
Неравенство \(2x^2 - 7x - 9 < 0\) является параболой, открытой вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный). Теперь нам нужно определить знаки функции на интервалах, определяемых корнями.
Интервалы, которые мы рассматриваем:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 4.5) \)
- \( (4.5, +\infty) \)
Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим в неравенство:
- Для интервала \((- \infty, -1)\), например, возьмем \(x = -2\): \[ 2(-2)^2 - 7(-2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13 > 0 \]
- Для интервала \((-1, 4.5)\), возьмем \(x = 0\): \[ 2(0)^2 - 7(0) - 9 = -9 < 0 \]
- Для интервала \((4.5, +\infty)\), возьмем \(x = 5\): \[ 2(5)^2 - 7(5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6 > 0 \]
Итак, функция \(2x^2 - 7x - 9\) меньше нуля на интервале \((-1, 4.5)\).
Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 7x - 9 < 0\) будет:
\[ (-1, 4.5) \]
Если будут еще вопросы по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
