Люстра массой 25кг подвешена с помощью прутка из аллюминия с диаметром 25мм.Какова относительная деформация прутка?
Для нахождения относительной деформации прутка, подвешивающего люстру, воспользуемся формулой для относительной деформации (упругих деформаций) в материале:
\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{F}{A \cdot E} \]
где:
- \( \varepsilon \) — относительная деформация,
- \( \Delta L \) — изменение длины прутка,
- \( L_0 \) — первоначальная длина прутка,
- \( F \) — сила, действующая на материал (в данном случае это вес люстры),
- \( A \) — площадь поперечного сечения прутка,
- \( E \) — модуль Юнга для алюминия.
Сначала найдем силу \( F \), действующую на пруток, которая равна весу люстры: \[ F = m \cdot g \] где \( m = 25 \, \text{кг} \), а \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \). Таким образом, \[ F = 25 \cdot 9.81 \approx 245.25 \, \text{Н} \]
Теперь найдем площадь поперечного сечения прутка \( A \): Площадь круга вычисляется по формуле: \[ A = \pi \cdot r^2 \] где радиус \( r = \frac{d}{2} = \frac{25 \, \text{мм}}{2} = 12.5 \, \text{мм} = 0.0125 \, \text{м} \). Тогда \[ A = \pi \cdot (0.0125)^2 \approx 4.908 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \]
Модуль Юнга для алюминия \( E \) составляет примерно \( 70 \, \text{ГПа} = 70 \times 10^9 \, \text{Па} \).
Подставляем значения в формулу для относительной деформации: \[ \varepsilon = \frac{F}{A \cdot E} = \frac{245.25}{4.908 \times 10^{-4} \cdot 70 \times 10^9} \]
Теперь рассчитаем: \[ \varepsilon \approx \frac{245.25}{4.908 \times 7 \times 10^5} \approx \frac{245.25}{3.436 \times 10^6} \approx 0.0000715 \]
Относительная деформация в процентах: \[ \varepsilon \times 100\% \approx 0.00715\% \]
Таким образом, относительная деформация прутка составляет примерно 0.00715%.
