На рисунке изображён прямоугольник ABCD Точки KK , LL , MM , NN — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…

Для решения задачи, давайте рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) и его стороны. Обозначим длину стороны \(AB = a\) и длину стороны \(BC = b\). Таким образом, площадь прямоугольника будет равна:

\[ S_{ABCD} = a \cdot b. \]

Точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) — это середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) соответственно. Теперь найдем координаты этих точек:

• \(K\) — середина \(AB\): \(K\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
• \(L\) — середина \(BC\): \(L\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
• \(M\) — середина \(CD\): \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
• \(N\) — середина \(DA\): \(N\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

Теперь рассмотрим четырехугольник \(AMCD\). Его вершины — это точки \(A(0, 0)\), \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\), \(C(a, b)\) и \(D(a, 0)\).

Мы хотим найти площадь четырехугольника \(AMCD\). Это можно сделать, используя формулу для площади многоугольника, заданного координатами его вершин. Площадь \(S_{AMCD}\) можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \]

Подставим координаты вершин:

• \(A(0, 0)\)
• \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
• \(C(a, b)\)
• \(D(a, 0)\)

Теперь подставим в формулу:

\[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + a \cdot 0 - \left( 0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot a + 0 \cdot 0 \right) \right| \]

Вычислим это:

\[ = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + 0 + 0 - \left( 0 + ab + ab + 0 \right) \right| \]

\[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - 2ab \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - \frac{4ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{3ab}{2} \right| = \frac{3ab}{4} \]

Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику \(AMCD\):

\[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{3ab}{4}}{ab} = \frac{3}{4}. \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику \(AMCD\), равна \( \frac{3}{4} \).