найдите произведение корней уравнения (x²+2x)²-(x+1)²=55;

Чтобы найти произведение корней уравнения \((x²+2x)²-(x+1)²=55\), сначала упростим его.

1. Переносим 55 в левую часть уравнения:

\[ (x²+2x)² - (x+1)² - 55 = 0 \]

2. Обозначим подмены:

Пусть \(y = x² + 2x\), тогда у нас будет \(y² - (x+1)² - 55 = 0\).

3. Упростим второй квадрат:

\[ (x+1)² = x² + 2x + 1 = y + 1 \]

Теперь у нас есть:

\[ y² - (y + 1) - 55 = 0 \]

или

\[ y² - y - 56 = 0 \]

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант:

\[ D = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-56) = 1 + 224 = 225 \]

5. Находим корни уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 15}{2} \]

Это дает:

\[ y_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad y_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]

6. Возвращаемся к \(x\):

Для \(y_1 = 8\):

\[ x² + 2x = 8 \implies x² + 2x - 8 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 2² - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни:

\[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = -4 \]

Для \(y_2 = -7\):

\[ x² + 2x = -7 \implies x² + 2x + 7 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 2² - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 \]

У этого уравнения нет действительных корней.

7. Корни уравнения в действительных числах: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\)

8. Найдем произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-4) = -8 \]

Таким образом, произведение корней данного уравнения равно \(-8\).