Для решения биквадратного уравнения (x^4 + x^2 + 1 = 0), сначала сделаем замену переменной. Пусть (y = x^2). Тогда уравнение преобразуется к следующему виду:
[ y^2 + y + 1 = 0. ]
Теперь применим формулу для решения квадратных уравнений (y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}), где (a = 1), (b = 1), (c = 1):
- Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3.
]
Поскольку дискриминант отрицательный ((D < 0)), у уравнения нет вещественных корней.
Теперь можно определить комплексные корни. При этом значения (y) будут:
[
y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
]
Теперь вернемся к переменной (x) с помощью (x^2 = y):
- Для (y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})
- Для (y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})
Каждое из значений (y) может быть равно (x^2), что дает два корня для каждого значения (y):
[
x = \pm \sqrt{y_1}, \quad x = \pm \sqrt{y_2}.
]
Таким образом, корни (x) выражаются в виде:
- (X_1 = \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}} + \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}),
- (X_2 = -\sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}} + \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}),
- (X_3 = \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}),
- (X_4 = -\sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}).
Таким образом, у уравнения 4 комплексных корня. Записывая ответ, можно оставить:
X1=
X2=
X3=
X4=
Корни являются комплексными, и в данной ситуации нужно подставить их значения, если необходимы. Обратите внимание, что корни могут быть также выражены в более компактной форме через экспоненциальные и тригонометрические функции, если нужно.
