В четырёхугольнике ABCD

Чтобы доказать, что \( AB = CD \) в четырёхугольнике \( ABCD \) при условиях \( \angle BAC = \angle BDC \) и \( \angle CAD = \angle BDA \), мы можем использовать теорему о равенстве треугольников.

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle BDC \).
2. Из условия \( \angle BAC = \angle BDC \) и \( \angle CAD = \angle BDA \) следует, что эти углы равны.
3. Поскольку \( \angle CAB = \angle BDA \) и \( \angle ABC = \angle BDC \) также равны, мы можем сказать, что два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
4. По теореме признака равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), мы имеем \( \triangle ABC \cong \triangle BDC \) (т.е. треугольники равны).

Из равенства \( \triangle ABC \) и \( \triangle BDC \) следует, что стороны, противолежащие равным углам, равны. То есть \( AB = CD \).

Таким образом, мы доказываем, что в четырёхугольнике \( ABCD \) при заданных углах выполняется равенство \( AB = CD \).