Найди площадь треугольника MNK, в котором ∠M=45°, из точки N проведена высота NQ, при этом MQ=5 мм, QK=8 мм.

Для нахождения площади треугольника MNK, где известен угол ∠M и высота, проведенная из точки N, можно использовать формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h, \]

где \( a \) — основание треугольника, а \( h \) — высота.

В нашем случае:

• Высота \( NQ \) — это перпендикуляр от точки N на основание MK.
• Основание MK можно найти, если сложить отрезки MQ и QK: \[ MK = MQ + QK = 5 \, \text{мм} + 8 \, \text{мм} = 13 \, \text{мм}. \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади треугольника. Однако нам также нужно определить, как высота NQ связана с углом ∠M. Высоту можно выразить через сторону и угол:

Согласно тригонометрии, высота \( NQ \) может быть найдена с использованием синуса: \[ NQ = MQ \cdot \sin(∠M) = 5 \, \text{мм} \cdot \sin(45°). \]

Зная, что \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \[ NQ = 5 \, \text{мм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, \text{мм}. \]

Теперь можно вычислить площадь треугольника MNK: \[ S = \frac{1}{2} \times MK \times NQ = \frac{1}{2} \times 13 \, \text{мм} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \, \text{мм}. \]

Выполним вычисления: \[ S = \frac{13 \cdot 5\sqrt{2}}{4} \, \text{мм}^2 = \frac{65\sqrt{2}}{4} \, \text{мм}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника MNK равна \( \frac{65\sqrt{2}}{4} \, \text{мм}^2 \).