Основанием пирамиды служит треугольник, стороны которого равны 10, 17 и 21. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы, равные 45°. Найти объем пирамиды.
Для нахождения объема пирамиды с треугольным основанием, нужно сначала найти площадь основания и высоту пирамиды.
Нахождение площади основания: В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 17, и 21. Для нахождения площади такого треугольника можем использовать формулу Герона.
Сначала найдем полупериметр \( p \): \[ p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24 \]
Теперь по формуле Герона находим площадь \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] где \( a = 10 \), \( b = 17 \), \( c = 21 \). Подставим значения: \[ S = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} \] Проводим вычисления по шагам: \[ 24 \cdot 14 = 336 \] \[ 336 \cdot 7 = 2352 \] \[ 2352 \cdot 3 = 7056 \] Теперь находим корень: \[ S = \sqrt{7056} = 84 \]
Нахождение высоты пирамиды: Из условия задачи известно, что все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы, равные 45°. Это означает, что высота \( h \) боковой грани равна длине отрезка, проходящего от вершины пирамиды до плоскости основания.
Высота можно найти через радиус описанной окружности \( R \) треугольника, так как высота будет равна \( h = R \).
Радиус \( R \) описанной окружности находится по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( S \) — площадь основания.
Подставим известные значения: \[ R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} \]
Сначала найдем числитель: \[ 10 \cdot 17 = 170 \] \[ 170 \cdot 21 = 3570 \]
Теперь можем подставить в формулу: \[ R = \frac{3570}{336} = \frac{3570 \div 21}{336 \div 21} = \frac{170}{16} = \frac{85}{8} \]
Таким образом, высота пирамиды: \[ h = R = \frac{85}{8} \]
Нахождение объема пирамиды: Теперь можем найти объем \( V \) пирамиды по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S h \] Подставим известные значения: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot \frac{85}{8} \]
Упростим: \[ V = \frac{84 \cdot 85}{24} = \frac{7140}{24} = 297.5 \]
Таким образом, объем пирамиды равен \( 297.5 \) кубических единиц.
