У=3х+1,при х>0 -3х+1 при х<0 Исследуйте на непрерывность и найти точки разрыва функции
Давайте исследуем функцию \( U \), определённую кусочно:
\[ U = \begin{cases} 3x + 1 & \text{при } x > 0 \\ -3x + 1 & \text{при } x < 0 \end{cases} \]
Чтобы проверить непрерывность функции и найти точки разрыва, нам нужно изучить поведение функции на границе между двумя частями, то есть в точке \( x = 0 \).
Непрерывность функции: Функция непрерывна в точке \( x = 0 \), если выполняются следующие три условия:
- \( U(0) \) существует.
- Предел функции \( U \) при \( x \) стремящемся к 0 слева равен \( U(0) \).
- Предел функции \( U \) при \( x \) стремящемся к 0 справа равен \( U(0) \).
Вычисление пределов и значения функции в точке \( x = 0 \):
- Предел при \( x \to 0^- \): \[ \lim_{x \to 0^-} U = \lim_{x \to 0^-} (-3x + 1) = -3(0) + 1 = 1 \]
- Предел при \( x \to 0^+ \): \[ \lim_{x \to 0^+} U = \lim_{x \to 0^+} (3x + 1) = 3(0) + 1 = 1 \]
- Значение функции в точке \( x = 0 \): \( U(0) \) не определено, так как в условии функции не указано значение для \( x = 0 \).
Вывод о точках разрыва: На основе проведённых вычислений, мы видим, что пределы слева и справа равны (оба равны 1), но значение функции в точке \( x = 0 \) не задано. Это означает, что функция имеет разрыв первого рода в точке \( x = 0 \).
Таким образом, функция \( U \) разрывающаяся в точке \( x = 0 \), и она имеет разрыв первого рода, так как обе стороны имеют одинаковый предел, но значение в самой точке не существует.
