В данном треугольнике ABC мы знаем углы A и B, а также высоту BH. Угол A равен 45°, угол B равен 30°, поэтому угол C можем найти, используя правило, что сумма всех углов в треугольнике равна 180°.
Угол C:
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°.
]
Теперь, зная угол A и высоту BH, мы можем найти стороны треугольника ABC, используя соотношения в треугольниках.
Обозначим:
- ( a ) — длина стороны BC,
- ( b ) — длина стороны AC,
- ( c ) — длина стороны AB.
Угол B, равный 30°, позволяет нам использовать синус, чтобы выразить сторону ( a ):
[
\sin(A) = \frac{BH}{a},
]
что из этого уравнения можем выразить сторону ( a ):
[
a = \frac{BH}{\sin(A)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45°)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot 2 = 8.
]
Теперь найдем сторону ( b ):
[
\sin(B) = \frac{BH}{b} \implies b = \frac{BH}{\sin(B)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(30°)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2} \approx 11.31.
]
Теперь найдем сторону ( c ):
[
\sin(C) = \frac{BH}{c} \implies c = \frac{BH}{\sin(C)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(105°)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(75°)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.
]
Упростим ( c ):
[
c \approx \frac{16\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 4\sqrt{12} \approx 8.
]
Теперь у нас есть стороны треугольника:
- ( a \approx 8 ),
- ( b \approx 11.31 ),
- ( c \approx 8 ).
Округляя до целых, у нас получается:
- ( a = 8 ),
- ( b = 11 ),
- ( c = 8 ).
Таким образом, стороны треугольника ABC равны примерно 8, 11 и 8.