Чтобы решить эту задачу, начнем с формулы кинетической энергии:
[ E_k = \frac{1}{2}mv^2, ]
где ( E_k ) — кинетическая энергия, ( m ) — масса мяча, ( v ) — скорость мяча.
Исходные данные: начальная скорость мяча ( v_0 = 20 , \text{м/с} ). Начальная кинетическая энергия будет равна:
[ E_{k0} = \frac{1}{2}m(20)^2 = 200m. ]
Нам нужно найти, когда кинетическая энергия станет в 4 раза меньше начальной:
[ E_k = \frac{1}{4}E_{k0} = \frac{1}{4}(200m) = 50m. ]
Теперь мы можем установить уравнение для кинетической энергии через скорость:
[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 = 50m. ]
Упростим, сократив массу ( m ):
[ \frac{1}{2}v^2 = 50. ]
Умножим обе стороны на 2:
[ v^2 = 100. ]
Таким образом, скорость ( v ) станет равной:
[ v = \sqrt{100} = 10 , \text{м/с}. ]
Теперь определим, через сколько времени скорость мяча достигнет 10 м/с. Для этого используем уравнение движения с учетом ускорения под действием силы тяжести:
[ v = v_0 - gt, ]
где ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.
Подставим известные значения:
[ 10 = 20 - 9.81t. ]
Решим это уравнение для времени ( t ):
[ 9.81t = 20 - 10, ]
[ 9.81t = 10, ]
[ t = \frac{10}{9.81} \approx 1.02 , \text{с}. ]
Таким образом, через примерно 1.02 секунды после броска кинетическая энергия мяча будет в 4 раза меньше начальной.