Рассмотрим два натуральных числа ( a ) и ( b ) (при этом пусть ( a > b )). Согласно условию, разность этих чисел ( a - b ) в два раза меньше одного из них, то есть:
[
a - b = \frac{1}{2}a \quad \text{или} \quad a - b = \frac{1}{2}b
]
Рассмотрим первый случай, когда ( a - b = \frac{1}{2}a ). Упрощая это равенство, получаем:
[
a - b = \frac{1}{2}a \implies 2(a - b) = a \implies 2a - 2b = a \implies a = 2b
]
Тогда в этом случае разность равняется:
[
a - b = 2b - b = b
]
Теперь разность кубов этих чисел будет:
[
a^3 - b^3 = (2b)^3 - b^3 = 8b^3 - b^3 = 7b^3
]
Поскольку ( b ) — натуральное число, ( 7b^3 ) всегда кратно 7.
Теперь рассмотрим второй случай, когда ( a - b = \frac{1}{2}b ). Упрощая это равенство, получаем:
[
a - b = \frac{1}{2}b \implies a = b + \frac{1}{2}b = \frac{3}{2}b
]
Тогда разность будет:
[
a - b = \frac{3}{2}b - b = \frac{1}{2}b
]
Разность кубов будет:
[
a^3 - b^3 = \left(\frac{3}{2}b\right)^3 - b^3 = \frac{27}{8}b^3 - b^3 = \frac{27}{8}b^3 - \frac{8}{8}b^3 = \frac{19}{8}b^3
]
В этом случае результат может варьироваться, и разность не определена четко.
Следовательно, основное внимание следует уделить первому случаю, и мы видим, что для любого выбора, удовлетворяющего условию, разность кубов этих чисел всегда будет кратна ( 7 ).
Из предложенных вариантов, по всей видимости, нет 7, но судя по тенденции, можно утверждать, что разность кубов чисел чаще всего кратна меньшим значениям.
Таким образом, ответ на вопрос: разность кубов ( a^3 - b^3 ) всегда кратна некоторому числу, например, ( 1 ) или ( 3 ), но не кратна ( 15 ) и прочим перечисленным, если брать абстрактные числа.
Ответ: 1 (Да), 3 (Да), 5 (Нет), 15 (Нет), 19 (Нет).