Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано б выстрелов, цель будет поражена ровно 3 раза?

Для решения этой задачи можно использовать формулу биномиального распределения. Формула для вероятности того, что событие произойдёт ровно k раз в n испытаниях, выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно k раз,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству сочетаний n по k,
• \( p \) — вероятность успеха (в данном случае 0.5),
• \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае b),
• \( k \) — количество успешных испытаний (в данном случае 3).

Подставим значения:

• \( p = 0.5 \)
• \( n = b \)
• \( k = 3 \)

Тогда вероятность будет равна:

\[ P(X = 3) = C(b, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{b - 3} \]

Упрощая, получаем:

\[ P(X = 3) = C(b, 3) \cdot (0.5)^b \]

Теперь нужно вычислить биномиальный коэффициент \( C(b, 3) \):

\[ C(b, 3) = \frac{b!}{3!(b - 3)!} = \frac{b(b - 1)(b - 2)}{3!} = \frac{b(b - 1)(b - 2)}{6} \]

Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза после b выстрелов, будет равна:

\[ P(X = 3) = \frac{b(b - 1)(b - 2)}{6} \cdot (0.5)^b \]

Эта формула даёт искомую вероятность.