Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано 6 выстрелов, цель будет поражена ровно 3 раза?

Вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза из 6 выстрелов, можно вычислить с помощью биномиального распределения. Формула для биномиального коэффициента выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( n \) — общее количество выстрелов (в нашем случае \( n = 6 \)),
• \( k \) — количество успешных выстрелов (здесь \( k = 3 \)),
• \( p \) — вероятность успеха при одном выстреле (здесь \( p = 0.5 \)),
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим наши значения в формулу:

1. Найдем биномиальный коэффициент \(\binom{6}{3}\): \[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

2. Теперь подставим это значение в формулу для вероятности: \[ P(X = 3) = \binom{6}{3} (0.5)^3 (0.5)^{6-3} = 20 \times (0.5)^3 \times (0.5)^3 = 20 \times (0.5)^6 \]

3. Вычислим \((0.5)^6\): \[ (0.5)^6 = \frac{1}{64} \]

4. Умножим: \[ P(X = 3) = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} \]

Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена ровно 3 раза из 6 выстрелов, составляет \(\frac{5}{16}\) или 0,3125.