Чтобы найти площадь прямоугольника, вначале необходимо определить его стороны. Пусть одна из сторон прямоугольника обозначается буквой ( a ), а другая сторона — ( b ). У нас есть отношение между стороной ( a ) и диагональю ( d ):
[
\frac{a}{d} = \frac{12}{13}
]
Также мы знаем, что ( b = 15 ).
Сначала найдем диагональ ( d ) в зависимости от сторон прямоугольника. По теореме Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставим значение стороны ( b ):
[
d = \sqrt{a^2 + 15^2} = \sqrt{a^2 + 225}
]
Теперь подставим выражение для диагонали из соотношения:
[
\frac{a}{\sqrt{a^2 + 225}} = \frac{12}{13}
]
Теперь умножим обе стороны на ( 13\sqrt{a^2 + 225} ):
[
13a = 12\sqrt{a^2 + 225}
]
Квадратируем обе стороны уравнения:
[
(13a)^2 = (12\sqrt{a^2 + 225})^2
]
[
169a^2 = 144(a^2 + 225)
]
Раскроем скобки:
[
169a^2 = 144a^2 + 32400
]
Теперь перенесем все члены, содержащие ( a^2 ), в одну сторону:
[
169a^2 - 144a^2 = 32400
]
[
25a^2 = 32400
]
Разделим обе стороны на 25:
[
a^2 = \frac{32400}{25} = 1296
]
Теперь найдём ( a ):
[
a = \sqrt{1296} = 36
]
Теперь у нас есть обе стороны прямоугольника: ( a = 36 ) и ( b = 15 ). Чтобы найти площадь ( S ) прямоугольника, используем формулу:
[
S = a \times b
]
[
S = 36 \times 15 = 540
]
Итак, площадь прямоугольника равна ( 540 ) квадратных единиц.