Х квадрат+4х+3>0 х квадрат-3х+2<или=0
Давайте рассмотрим оба неравенства по отдельности и решим их.
- Первое неравенство: \(x^2 + 4x + 3 > 0\)
Для начала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 4x + 3 = 0\). Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Корни уравнения будут:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
Таким образом, у нас есть корни \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -3\). Теперь мы можем построить числовую прямую и определить, на каких интервалах выражение \(x^2 + 4x + 3\) больше нуля.
Представим интервалы:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, -1) \)
- \( (-1, +\infty) \)
Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:
Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0\) (в этом интервале выражение положительное)
Для \(-3 < x < -1\) (например, \(x = -2\)): \((-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0\) (в этом интервале выражение отрицательное)
Для \(x > -1\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0\) (в этом интервале выражение положительное)
Итак, решение первого неравенства: \[ x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \]
- Второе неравенство: \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\)
Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\):
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\). Проверим знаки на интервалах:
- Интервалы:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Проверяем:
Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0\) (в этом интервале положительно)
Для \(1 < x < 2\) (например, \(x = 1.5\)): \((1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0\) (в этом интервале отрицательно)
Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0\) (в этом интервале положительно)
Таким образом, учитывая знак неравенства «менее или равно»: \[ x \in [1, 2] \]
Теперь у нас есть два неравенства:
- \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)\)
- \(x \in [1, 2]\)
Теперь мы можем указать значения \(x\), при которых выполняются оба неравенства:
Решение обоих неравенств:
- Первое неравенство не пересекается со вторым. Поэтому, в данной системе нет значений \(x\), которые удовлетворяли бы обоим условиям одновременно.
