Чтобы найти первоначальные размеры квадратного листа картона, начнем с обозначений. Пусть сторона квадрата равна ( x ) сантиметров.
Когда от квадрата отрезают полоску шириной 3 см с одной стороны, остается прямоугольник, у которого одна сторона равна ( x ), а другая сторона равна ( x - 3 ) см.
Теперь мы можем записать уравнение для площади оставшейся части:
[
P = x(x - 3)
]
По условию задачи, площадь оставшейся части равна 70 см²:
[
x(x - 3) = 70
]
Решим данное уравнение. Раскроем скобки:
[
x^2 - 3x - 70 = 0
]
Теперь применим формулу нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -3 ), и ( c = -70 ). Сначала вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 17}{2}
]
Получаем два возможных значения для ( x ):
- ( x = \frac{20}{2} = 10 ) см
- ( x = \frac{-14}{2} = -7 ) см (это значение не имеет смысла, так как длина не может быть отрицательной)
Таким образом, первоначальный размер сторон листа картона составляет ( 10 ) см.
Ответ: первоначальные размеры листа картона равны ( 10 ) см × ( 10 ) см.