Решим задачу шаг за шагом. Обозначим:
- Скорость заполнения первой трубы — (x) литров в минуту.
- Скорость заполнения второй трубы — (x + 4) литров в минуту.
По условию задачи, первая труба заполняет резервуар объемом 135 литров на 5 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 76 литров.
Давайте сначала найдем время, которое необходимо каждой трубе для заполнения соответствующего резервуара.
Время, необходимое первой трубе для заполнения 135 литров:
[
t_1 = \frac{135}{x}
]
Время, необходимое второй трубе для заполнения 76 литров:
[
t_2 = \frac{76}{x + 4}
]
Согласно условию задачи, первая труба заполняет резервуар на 5 минут дольше:
[
t_1 = t_2 + 5
]
Теперь подставим выражения для (t_1) и (t_2) в это уравнение:
[
\frac{135}{x} = \frac{76}{x + 4} + 5
]
Умножим все уравнения на (x(x + 4)) для устранения дробей:
[
135(x + 4) = 76x + 5x(x + 4)
]
Раскроем скобки:
[
135x + 540 = 76x + 5x^2 + 20x
]
Упрощаем уравнение:
[
135x + 540 = 76x + 5x^2 + 20x
]
[
135x + 540 = 96x + 5x^2
]
[
0 = 5x^2 - 39x - 540
]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-540) = 1521 + 10800 = 12321
]
Находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 \pm 111}{10}
]
Теперь рассматриваем возможные значения:
- (x_1 = \frac{150}{10} = 15)
- (x_2 = \frac{-72}{10} = -7.2) (отрицательное значение не подходит)
Итак, скорость заполнения первой трубы:
[
x = 15 \text{ литров в минуту.}
]
Скорость второй трубы:
[
x + 4 = 19 \text{ литров в минуту.}
]
Таким образом, первая труба пропускает 15 литров воды в минуту.