Чтобы найти площадь ромба, зная его высоту и то, что сторона равна одной из диагоналей, можно воспользоваться формулой для площади ромба:
[ S = a \cdot h ]
где ( S ) — площадь ромба, ( a ) — длина стороны, а ( h ) — высота.
Пусть сторона ромба равна ( a ). Поскольку одна из диагоналей равна стороне, обозначим диагональ как ( d_1 = a ).
Также помним, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и создают два равных треугольника. Если обозначить вторую диагональ как ( d_2 ), то можно выразить площадь ромба также через диагонали:
[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ]
Подставляя ( d_1 = a ), получаем:
[ S = \frac{a \cdot d_2}{2} ]
Теперь нам нужно найти длину ( d_2 ). Для этого можно воспользоваться свойствами треугольников, образованных диагоналями.
Пусть ( h = 15\sqrt{3} ) см — высота, опущенная на основание (в нашем случае на сторону ромба). В ромбе высота ( h ) также может быть найдена через ( d_2 ):
Высота ( h ) равна половине ( d_2 ) умноженному на синус угла между сторонами:
[ h = \frac{d_2}{2} \cdot \sin(90^\circ) = \frac{d_2}{2} ]
Следовательно, можем выразить ( d_2 ):
[ d_2 = 2h = 2 \cdot 15\sqrt{3} = 30\sqrt{3} ]
Теперь подставим в формулу для площади:
- Сначала найдём сторону ромба, зная, что ( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 ):
[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{30\sqrt{3}}{2}\right)^2 ]
[ a^2 = \frac{a^2}{4} + \left(15\sqrt{3}\right)^2 ]
[ a^2 = \frac{a^2}{4} + 675 ]
Умножаем на 4, чтобы избавиться от дроби:
[ 4a^2 = a^2 + 2700 ]
[ 3a^2 = 2700 ]
[ a^2 = 900 ]
[ a = 30 ]
- Подставляем ( a ) и ( h ) в формулу:
[ S = 30 \cdot 15\sqrt{3} = 450\sqrt{3} ]
Итак, площадь ромба равна:
[ S = 450\sqrt{3} , \text{см}^2 ]
Таким образом, ответ: площадь ромба равна ( 450\sqrt{3} , \text{см}^2 ).