дана функция у=x/(x+3)(x-8) указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка
Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{x}{(x+3)(x-8)} \) на непрерывность и пределы, начнем с нахождения значений \( x \), при которых функция не определена.
Функция не будет определена, если знаменатель равен нулю, то есть мы должны решить уравнения:
- \( x + 3 = 0 \) \( \Rightarrow x = -3 \)
- \( x - 8 = 0 \) \( \Rightarrow x = 8 \)
Таким образом, функция не определена в точках \( x = -3 \) и \( x = 8 \). Это означает, что функция разрывная в этих точках. Промежутки непрерывности функции следующие:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, 8) \)
- \( (8, +\infty) \)
Теперь давайте исследуем пределы функции на концах каждого промежутка.
Для промежутка \( (-\infty, -3) \):
\[ \lim_{x \to -3^-} y = \lim_{x \to -3^-} \frac{x}{(x+3)(x-8)} \] При \( x \to -3 \) знаменатель стремится к нулю отрицательному, а числитель к \( -3 \), поэтому:
\[ \lim_{x \to -3^-} y = \frac{-3}{0^-} = +\infty \]
Для промежутка \( (-3, 8) \):
\[ \lim_{x \to -3^+} y = \lim_{x \to -3^+} \frac{x}{(x+3)(x-8)} \] При \( x \to -3 \) знаменатель стремится к нулю положительному, а числитель к \( -3 \), поэтому:
\[ \lim_{x \to -3^+} y = \frac{-3}{0^+} = -\infty \]
Для промежутка \( (8, +\infty) \):
\[ \lim_{x \to 8^-} y = \lim_{x \to 8^-} \frac{x}{(x+3)(x-8)} \] При \( x \to 8 \) знаменатель стремится к нулю отрицательному, а числитель к \( 8 \), поэтому:
\[ \lim_{x \to 8^-} y = \frac{8}{0^-} = -\infty \]
И теперь для \( x \to 8^+ \):
\[ \lim_{x \to 8^+} y = \lim_{x \to 8^+} \frac{x}{(x+3)(x-8)} \] При \( x \to 8 \) знаменатель стремится к нулю положительному, а числитель к \( 8 \), поэтому:
\[ \lim_{x \to 8^+} y = \frac{8}{0^+} = +\infty \]
Таким образом, мы исследовали пределы функции на концах каждого промежутка:
- В точке \( x = -3 \) функция имеет разрыв: \( +\infty \) с левой стороны и \( -\infty \) с правой.
- В точке \( x = 8 \) функция также имеет разрыв: \( -\infty \) с левой стороны и \( +\infty \) с правой.
Эти результаты подтверждают, что функция имеет разрывы в этих точках, и её поведение около этих разрывов достаточно интересно для дальнейшего анализа.
