реши

Привет! Давай разберёмся с задачей.

У нас есть правильная четырёхугольная пирамида, в которой

• \(\angle ACB = 90^\circ\)
• \(AC = CB\)
• \(AB_1 = 10\)
• \(BB_1 = 8\)

Нужно найти объём этой пирамиды.

1. Так как \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(AC = CB\), треугольник \(ACB\) — равнобедренный прямоугольный. Тогда \(AB = AC \sqrt{2}\).

2. Основание пирамиды — это равносторонний треугольник \(ABC\).

3. Высота пирамиды из вершины \(B_1\) равна 8.

4. Площадь основания треугольника \(ABC\) можно найти по формуле \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times AC \times AC = \frac{1}{2} \times AC^2 \).

5. Объём пирамиды: \( \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота пирамиды} \).

Теперь посчитаем:

• Из условий задачи \((AC = CB)\) и треугольник \(ACB\) равнобедренный прямоугольный, можем выразить \(AB = AC \sqrt{2}\).

• Площадь треугольника \(ABC: \frac{1}{2} \times AC^2\).

• Объём пирамиды: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AC^2 \times 8\).

Объём: \(\frac{1}{3} \times 4 \times AC^2 = \frac{4}{3} \times AC^2\).

Теперь подставим числа:

1. Из условия дано, что \(AB_1 = 10\). Из равенства треугольников можем найти \(AC\):

   Если \(AC = x\), то \(AB = x\sqrt{2} = x\sqrt{2} = 10\).

   \(x\sqrt{2} = 10\), значит, \(x = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\).

2. Подставляем в объём:

   Площадь основания = \(\frac{1}{2} \times (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25\).

   Объём пирамиды \(= \frac{1}{3} \times 25 \times 8 = \frac{200}{3}\).

Ответ: объём пирамиды \(\frac{200}{3}\) кубических единиц.