№1 Учи.ру, 0.852 Найди количество целых чисел из промежутка [−3; 8], являющихся решением неравенства: 5^x−4⋅5^−x+3<0. Запиши в поле ответа верное число.

Для решения неравенства \(5^x - 4 \cdot 5^{-x} + 3 < 0\) сначала преобразуем его. Пусть \(y = 5^x\). Тогда \(5^{-x} = \frac{1}{y}\), и неравенство можно переписать как: \[ y - \frac{4}{y} + 3 < 0 \] Умножим все обе стороны неравенства на \(y\) (при этом, \(y > 0\) для всех \(x\)): \[ y^2 + 3y - 4 < 0 \] Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \(y^2 + 3y - 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Корни будут: \[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \] Корни равны \(y_1 = -4\) (отрицательное, поэтому отбрасываем) и \(y_2 = 1\). Теперь определим промежутки: 1. \(y < 1\) 2. \(y > 1\) Исследуем знаки функции \(y^2 + 3y - 4\): - Тревозная функция косая, и она меняет знак в точке корня \(y = 1\). - Для \(y < 1\) (выберем, например \(y = 0\)): \(0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0\) - Для \(y > 1\) (выберем, например \(y = 2\)): \(2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0\) Таким образом, неравенство \(y^2 + 3y - 4 < 0\) выполняется при \(0 < y < 1\). Запишем это в терминах \(x\): \[ 0 < 5^x < 1 \] Это неравенство верно для: \[ x < 0 \] Теперь найдем целые значения \(x\) в промежутке \([-3, 8]\): Целые числа в промежутке \([-3, 8]\): \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\). Из них, удовлетворяющие условию \(x < 0\): \(-3, -2, -1\). Таким образом, количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству, равно 3. Ответ: \[ 3 \]