№1 Учи.ру, 0.852 Найди количество целых чисел из промежутка [−3; 8] , являющихся решением неравенства: 5^x−4⋅5^−x+3<0 . Запиши в поле ответа верное число.

Для решения неравенства \(5^x - 4 \cdot 5^{-x} + 3 < 0\) сначала преобразуем его.

Пусть \(y = 5^x\). Тогда \(5^{-x} = \frac{1}{y}\), и неравенство можно переписать как:

\[ y - \frac{4}{y} + 3 < 0 \]

Умножим все обе стороны неравенства на \(y\) (при этом, \(y > 0\) для всех \(x\)):

\[ y^2 + 3y - 4 < 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \(y^2 + 3y - 4 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни будут:

\[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \]

Корни равны \(y_1 = -4\) (отрицательное, поэтому отбрасываем) и \(y_2 = 1\).

Теперь определим промежутки:

1. \(y < 1\)
2. \(y > 1\)

Исследуем знаки функции \(y^2 + 3y - 4\):

• Тревозная функция косая, и она меняет знак в точке корня \(y = 1\).
• Для \(y < 1\) (выберем, например \(y = 0\)): \(0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0\)
• Для \(y > 1\) (выберем, например \(y = 2\)): \(2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0\)

Таким образом, неравенство \(y^2 + 3y - 4 < 0\) выполняется при \(0 < y < 1\). Запишем это в терминах \(x\):

\[ 0 < 5^x < 1 \]

Это неравенство верно для:

\[ x < 0 \]

Теперь найдем целые значения \(x\) в промежутке \([-3, 8]\):

Целые числа в промежутке \([-3, 8]\): \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\).

Из них, удовлетворяющие условию \(x < 0\): \(-3, -2, -1\).

Таким образом, количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству, равно 3. Ответ:

\[ 3 \]