№1 Учи.ру, 0.852 Найди количество целых чисел из промежутка [−3; 8] , являющихся решением неравенства: 5^x−4⋅5^−x+3<0 . Запиши в поле ответа верное число.

Чтобы решить неравенство \( 5^x - 4 \cdot 5^{-x} + 3 < 0 \), начнем с преобразования:

Заменим \( 5^{-x} \) на \( \frac{1}{5^x} \). Тогда выражение можно записать так:

\[ 5^x - 4 \cdot \frac{1}{5^x} + 3 < 0 \]

Умножим всё неравенство на \( 5^x \) (при этом \( 5^x > 0 \), так что знак неравенства не изменится):

\[ (5^x)^2 - 4 + 3 \cdot 5^x < 0 \]

Обозначим \( y = 5^x \). Тогда неравенство становится:

\[ y^2 + 3y - 4 < 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \( y^2 + 3y - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \]

Решение неравенства \( y^2 + 3y - 4 < 0 \) будет находиться между корнями, то есть:

\[ -4 < y < 1 \]

Так как \( y = 5^x \), необходимо решить неравенство \( 5^x < 1 \).

Это означает, что \( x < 0 \).

Теперь найдем целые числа из промежутка \([-3; 8]\), которые меньше 0. Это целые числа:

\(-3, -2, -1\)

Итак, количество целых чисел из промежутка \([-3; 8]\), удовлетворяющих условию, равно 3.

Ответ: 3.