Чтобы решить неравенство ( 5^x - 4 \cdot 5^{-x} + 3 < 0 ), начнем с преобразования:
Заменим ( 5^{-x} ) на ( \frac{1}{5^x} ). Тогда выражение можно записать так:
[
5^x - 4 \cdot \frac{1}{5^x} + 3 < 0
]
Умножим всё неравенство на ( 5^x ) (при этом ( 5^x > 0 ), так что знак неравенства не изменится):
[
(5^x)^2 - 4 + 3 \cdot 5^x < 0
]
Обозначим ( y = 5^x ). Тогда неравенство становится:
[
y^2 + 3y - 4 < 0
]
Теперь решим квадратное уравнение ( y^2 + 3y - 4 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
]
Корни уравнения:
[
y_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1
]
Решение неравенства ( y^2 + 3y - 4 < 0 ) будет находиться между корнями, то есть:
[
-4 < y < 1
]
Так как ( y = 5^x ), необходимо решить неравенство ( 5^x < 1 ).
Это означает, что ( x < 0 ).
Теперь найдем целые числа из промежутка ([-3; 8]), которые меньше 0. Это целые числа:
(-3, -2, -1)
Итак, количество целых чисел из промежутка ([-3; 8]), удовлетворяющих условию, равно 3.
Ответ: 3.