В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, где AD || BC, мы можем доказать, что площади треугольников APB и CPD равны, используя свойства подобных треугольников и высоты.
1. Рассмотрим точки A, B, C и D, где AD и BC — основания трапеции. Поскольку AD || BC, это означает, что углы, образованные диагоналями и основаниями, являются равными: ∠APB = ∠CPD и ∠ABP = ∠CDP.
2. Обозначим высоту от точки P на основании AD как h₁, а от точки P на основании BC как h₂.
3. Площадь треугольника (например, треугольника APB) можно выразить через основание AB и высоту h₁:
\[
S_{APB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h₁
\]
4. Аналогично, для треугольника CPD:
\[
S_{CPD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h₂
\]
5. Теперь, заметим, что поскольку AD и BC — параллельные линии, высоты h₁ и h₂, проведенные из точки P на линии, будут пропорциональны:
\[
h₁/h₂ = AB/CD
\]
6. Таким образом, площади треугольников APB и CPD связаны с их высотами и основаниями:
\[
S_{APB} : S_{CPD} = AB \cdot h₁ : CD \cdot h₂
\]
7. Так как AD || BC и углы между прямыми одинаковы, то мы можем сказать, что треугольники APB и CPD являются подобными. Это означает, что их площади должны быть равны.
8. Поэтому:
\[
S_{APB} = S_{CPD}
\]
Таким образом, мы доказали, что площади треугольников APB и CPD равны.