1. Смешав 69-процентный и 29-процентный растворы кислоты и добавив 80 кг чистой воды, получили 17-процентвый раствор кислоты. Если бы вместо 80 кг воды добавили 80 кг 20- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 27-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 69-процентного раствора использовали для

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначений. Обозначим количество 69-процентного раствора как \( x \) кг, а количество 29-процентного раствора — как \( y \) кг.

Сначала запишем уравнения на основе данных из задачи.

1. Общая масса растворов и воды после добавления 80 кг воды составляет: \[ x + y + 80 \] Они образуют 17%-ный раствор кислоты, то есть: \[ \frac{0.69x + 0.29y}{x + y + 80} = 0.17 \] Умножим обе стороны уравнения на \( x + y + 80 \): \[ 0.69x + 0.29y = 0.17(x + y + 80) \] Раскроем скобки: \[ 0.69x + 0.29y = 0.17x + 0.17y + 13.6 \] Переносим все слагаемые в левую часть: \[ 0.69x - 0.17x + 0.29y - 0.17y - 13.6 = 0 \] Собираем подобные слагаемые: \[ 0.52x + 0.12y - 13.6 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 52x + 12y = 1360 \quad \text{(1)} \]

Теперь рассмотрим второй случай, когда добавляем вместо воды 80 кг 20%-ного раствора: \[ \frac{0.69x + 0.29y + 0.2 \cdot 80}{x + y + 80} = 0.27 \] \[ 0.2 \cdot 80 = 16, \] так что уравнение становится: \[ \frac{0.69x + 0.29y + 16}{x + y + 80} = 0.27 \] Умножаем на \( x + y + 80 \): \[ 0.69x + 0.29y + 16 = 0.27(x + y + 80) \] Раскрываем скобки: \[ 0.69x + 0.29y + 16 = 0.27x + 0.27y + 21.6 \] Переносим все слагаемые в левую часть: \[ 0.69x - 0.27x + 0.29y - 0.27y + 16 - 21.6 = 0 \] Собираем подобные слагаемые: \[ 0.42x + 0.02y - 5.6 = 0 \] Упрощаем: \[ 42x + 2y = 560 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 52x + 12y = 1360 \)
2. \( 42x + 2y = 560 \)

Решим второе уравнение для \( y \): \[ 2y = 560 - 42x \quad \Rightarrow \quad y = 280 - 21x \quad \text{(3)} \]

Теперь подставим уравнение (3) в уравнение (1): \[ 52x + 12(280 - 21x) = 1360 \] Раскроем скобки: \[ 52x + 3360 - 252x = 1360 \] Соберем все \( x \): \[ -200x + 3360 = 1360 \] Переносим 3360 в правую часть: \[ -200x = 1360 - 3360 \] \[ -200x = -2000 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

Теперь найдем \( y \) с помощью уравнения (3): \[ y = 280 - 21 \cdot 10 = 280 - 210 = 70 \]

Таким образом, мы получили, что использовали 10 кг 69%-ного раствора.