правильной треугольной пирамиде боковая поверхность равна 27 см^2 а периметр основания 18 см. Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды.
Чтобы найти апофему и плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, давайте рассмотрим предоставленные данные:
- Боковая поверхность пирамиды равна 27 см².
- Периметр основания равен 18 см.
Правильная треугольная пирамида имеет треугольник в основании и три равных боковых треугольника.
1. Находим площадь одного бокового треугольника:
Поскольку боковая поверхность состоит из трех равных боковых треугольников, площадь одного бокового треугольника будет: \[ S_{бок} = \frac{S_{бок. пов.}}{3} = \frac{27 \text{ см}^2}{3} = 9 \text{ см}^2. \]
2. Находим сторону основания:
Поскольку основание правильной треугольной пирамиды – равносторонний треугольник, длина одной стороны равна: \[ a = \frac{P}{3} = \frac{18 \text{ см}}{3} = 6 \text{ см.} \]
3. Находим апофему:
Запишем формулу площади равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\): \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2. \]
Каждый боковой треугольник имеет основание \(a\) и высоту \(h\) (апофему пирамиды): \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 9 \text{ см}^2. \] Подставим \(a = 6\): \[ 9 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h. \] Решаем уравнение: \[ 9 = 3h \implies h = 3 \text{ см.} \]
Таким образом, мы нашли апофему (высоту бокового треугольника) равной 3 см.
4. Находим плоский угол при вершине пирамиды:
Плоский угол при вершине пирамиды можно найти через тангенс угла между апофемой и высотой пирамиды. Высота низлагает в точке (центре основания) к вершине пирамиды, образуя треугольник между высотой, половиной стороны основания и апофемой.
Длина половины стороны основания: \[ \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см.} \]
Используем тангенс угла: \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{3}{3} = 1. \] Следовательно, угол \(\alpha\) равен: \[ \alpha = 45^{\circ}. \]
Ответ:
Апофема пирамиды равна 3 см, а плоский угол при вершине пирамиды равен 45 градусам.
