В стакан массой 100 г и температурой 20°С с налили 200 г воды температурой 80°С . определите температуру равновесия если удельная теплоёмкость стакана 840 Дж/кг°с , а воды 4200 Дж/кг°С
Для решения задачи о температуре равновесия необходимо применить закон сохранения энергии. Сначала найдем, сколько энергии передаст горячая вода холодному стакану и холодной воде, пока не достигнут равновесия.
Обозначим:
- массу стакана \( m_{\text{ст}} = 0.1 \, \text{кг} \) (так как 100 г = 0.1 кг)
- температуру стакана \( T_{\text{ст}} = 20^\circ C \)
- массу горячей воды \( m_{\text{в}} = 0.2 \, \text{кг} \) (так как 200 г = 0.2 кг)
- температуру горячей воды \( T_{\text{в}} = 80^\circ C \)
- удельную теплоемкость стакана \( c_{\text{ст}} = 840 \, \text{Дж/кг} \cdot {}^\circ C \)
- удельную теплоемкость воды \( c_{\text{в}} = 4200 \, \text{Дж/кг} \cdot {}^\circ C \)
- температуру равновесия, которую нам нужно найти, обозначим как \( T_e \).
Исходя из закона сохранения энергии, энергия, потраченная на нагрев стакана и воды, будет равна энергии, переданной от горячей воды:
\[ m_{\text{в}} \cdot c_{\text{в}} \cdot (T_{\text{в}} - T_e) = m_{\text{ст}} \cdot c_{\text{ст}} \cdot (T_e - T_{\text{ст}}) + m_{\text{в}} \cdot c_{\text{в}} \cdot (T_e - T_{\text{в}}) \]
Подставляем известные величины:
\[ 0.2 \cdot 4200 \cdot (80 - T_e) = 0.1 \cdot 840 \cdot (T_e - 20) + 0.2 \cdot 4200 \cdot (T_e - 80) \]
Упрощаем уравнение:
\[ 840 \cdot (80 - T_e) = 84 \cdot (T_e - 20) + 840 \cdot (T_e - 80) \]
Раскроем скобки:
\[ 840 \cdot 80 - 840 T_e = 84 T_e - 1680 + 840 T_e - 67200 \]
Соберем все составляющие с \( T_e \) с одной стороны:
\[ 840 \cdot 80 + 1680 + 67200 = 840 T_e + 84 T_e \]
Сложим константы:
\[ 67200 + 1680 + 67200 = 924 T_e \] \[ 68080 = 924 T_e \]
Теперь найдём \( T_e \):
\[ T_e = \frac{68080}{924} \approx 73.6^\circ C \]
Таким образом, температура равновесия, после того как стакан и вода достигнут термодинамического равновесия, составляет примерно \( 73.6^\circ C \).
