((sin) ^x)'

Чтобы найти производную функции \( (\sin x)^x \), воспользуемся правилом производной сложной функции и логарифмическим дифференцированием.

1. Начнем с того, что можем выразить нашу функцию через натуральный логарифм: \[ y = (\sin x)^x \] Применим логарифм к обеим сторонам: \[ \ln y = x \ln(\sin x) \]

2. Теперь найдем производную от обеих сторон по \( x \): \[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln(\sin x)) \] Слева, согласно правилам дифференцирования, получаем: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \]

3. Справа используем правило произведения: \[ \frac{d}{dx}(x \ln(\sin x)) = \ln(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \] Это можно записать как: \[ \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \]

4. Теперь объединим всё вместе: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\sin x) + x \cot x \]

5. Умножим обе стороны на \( y \), чтобы выразить производную \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = y \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right) \] Подставим \( y = (\sin x)^x \): \[ \frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right) \]

Таким образом, производная функции \( (\sin x)^x \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right) \]

Это полное решение, которое позволяет вам понять, как берется производная данной функции. Если есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!