В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите соотношение площадей боковых поверхностей этих призм

Чтобы найти соотношение площадей боковых поверхностей правильной шестиугольной призмы и правильной четырехугольной призмы, вписанной и описанной соответственно около цилиндра, начнем с понимания свойств этих фигур.

1. Правильная шестиугольная призма:

   • Основание шестиугольное, и его надо вписать в круг, который описывает основание цилиндра. Радиус этого круга равен радиусу вписанной шестиугольной призмы.
   • Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы можно найти по формуле: \[ A_{\text{бок}}(ШП) = P_{\text{осн}} \cdot h \] где \( P_{\text{осн}} \) – периметр основания, а \( h \) – высота призмы.
   • Для шестиугольного основания, периметр будет \( P_{\text{осн}} = 6a \), где \( a \) – длина ребра шестиугольника. Радиус описанного круга будет равен \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), что получается из свойств правильного шестиугольника.

2. Правильная четырехугольная призма:

   • Теперь рассмотрим правильную четырехугольную призму, описанную около цилиндра. Основание этой призмы – квадрат. Угол между сторонами квадрата будет прямым.
   • Площадь боковой поверхности четырехугольной призмы также рассчитывается по формуле: \[ A_{\text{бок}}(ЧП) = P_{\text{осн}} \cdot h \] где \( P_{\text{осн}} = 4b \), а \( b \) – длина стороны квадрата, описанного около того же круга.
   • Длина стороны квадрата, описанного около циркуля, будет равна \( b = R\sqrt{2} \), где \( R \) – радиус описанного круга.

Теперь подставим найденные значения для обеих формул, чтобы вывести соотношение площадей боковых поверхностей:

\[ \frac{A_{\text{бок}}(ШП)}{A_{\text{бок}}(ЧП)} = \frac{6a \cdot h}{4R\sqrt{2} \cdot h} \] Поскольку высоты \( h \) сокращаются, получим:

\[ \frac{A_{\text{бок}}(ШП)}{A_{\text{бок}}(ЧП)} = \frac{6a}{4R\sqrt{2}} = \frac{3a}{2R\sqrt{2}} \]

Подставив значения \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), получим:

\[ \frac{A_{\text{бок}}(ШП)}{A_{\text{бок}}(ЧП)} = \frac{3a}{2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}} = \frac{3a \cdot 3}{2a \sqrt{6}} = \frac{9}{2\sqrt{6}} = \frac{9 \sqrt{6}}{12} \]

Итак, соотношение площадей боковых поверхностей правильной шестиугольной призмы и правильной четырехугольной призмы можно выразить в виде:

\[ \frac{3\sqrt{6}}{4} \]

Таким образом, это и будет ответом на ваш вопрос.