Решить

Привет! Давай разберём это неравенство:

\(-m^2 - 8m + 9 \geq 0\).

Первый шаг — упростим запись:

1. Умножим обе части на \(-1\), чтобы избавиться от минуса перед \(m^2\):
   \(m^2 + 8m - 9 \leq 0\)

Теперь это квадратное неравенство. Нам нужно его решить:

2. Найдём корни квадратного уравнения \(m^2 + 8m - 9 = 0\):

   • Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).
   • Корни: \(m_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\) \(m_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9\)

3. Расставим корни на числовой прямой и определим знаки в промежутках:

   • Интервалы: \((-∞, -9)\), \((-9, 1)\), \( (1, ∞)\)

4. Проверим знаки в каждом из интервалов:

   • \((-∞, -9)\): выберем \(m = -10\). Подставляем: \(100 - 80 - 9 = 11\), знак «+».
   • \((-9, 1)\): выберем \(m = 0\). Подставляем: \(0 + 0 - 9 = -9\), знак «-».
   • \((1, ∞)\): выберем \(m = 2\). Подставляем: \(4 + 16 - 9 = 11\), знак «+».

5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю, то есть берём промежуток со знаком «-»:

   \([-9, 1]\)

Итак, ответ: \(m \in [-9, 1]\).

Если есть вопросы, спрашивай!