Дано: А(-10 ; - 5), B(-2; 6), C(0;9). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.
Давайте последовательно решим все части задачи.
а) Найти координаты вектора BC.
Координаты вектора \( BC \) можно найти, вычитая координаты точки \( B \) из координат точки \( C \):
\[ BC = C - B = (0 - (-2), 9 - 6) = (2, 3) \]
Таким образом, координаты вектора \( BC \) равны \( (2; 3) \).
б) Найти длину вектора AB.
Длину вектора \( AB \) можно вычислить по формуле:
\[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
Подставляем координаты точек \( A(-10, -5) \) и \( B(-2, 6) \):
\[ |AB| = \sqrt{((-2) - (-10))^2 + (6 - (-5))^2} = \sqrt{(8)^2 + (11)^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185} \]
Следовательно, длина вектора \( AB \) равна \( \sqrt{185} \).
в) Найти координаты середины отрезка AC.
Координаты середины отрезка можно найти по формуле:
\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]
Считаем для точек \( A(-10, -5) \) и \( C(0, 9) \):
\[ M = \left( \frac{-10 + 0}{2}, \frac{-5 + 9}{2} \right) = \left( -5, 2 \right) \]
Таким образом, координаты середины отрезка \( AC \) равны \( (-5; 2) \).
г) Найти периметр треугольника ABC.
Сначала нам нужно найти длины всех сторон треугольника \( AB \), \( BC \) и \( AC \).
Мы уже нашли \( |AB| = \sqrt{185} \).
Длина \( |BC| \) была найдена как \( \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).
Теперь найдем \( |AC| \):
\[ |AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(0 - (-10))^2 + (9 - (-5))^2} = \sqrt{(10)^2 + (14)^2} = \sqrt{100 + 196} = \sqrt{296} \]
Теперь находим периметр \( P \):
\[ P = |AB| + |BC| + |AC| = \sqrt{185} + \sqrt{13} + \sqrt{296} \]
Периметр треугольника \( ABC \) равен \( \sqrt{185} + \sqrt{13} + \sqrt{296} \).
д) Найти длину медианы BM.
Длина медианы \( BM \) может быть найдена по формуле:
\[ |BM| = \frac{1}{2} \sqrt{2|AB|^2 + 2|BC|^2 - |AC|^2} \]
Сначала найдем квадраты длин:
- \( |AB|^2 = 185 \)
- \( |BC|^2 = 13 \)
- \( |AC|^2 = 296 \)
Теперь подставляем в формулу:
\[ |BM| = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 185 + 2 \cdot 13 - 296} = \frac{1}{2} \sqrt{370 + 26 - 296} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \]
Длина медианы \( BM \) равна \( 5 \).
Таким образом, мы нашли все необходимые значения:
- а) \( BC = (2; 3) \)
- б) \( |AB| = \sqrt{185} \)
- в) Середина \( AC = (-5; 2) \)
- г) Периметр \( P = \sqrt{185} + \sqrt{13} + \sqrt{296} \)
- д) \( |BM| = 5 \)
