Давайте решим уравнение ( \cos^2 x + 4\sin 2x = 2\sin 2x ).
Во-первых, заметим, что ( \sin 2x ) можно выразить через ( \sin x ) и ( \cos x ) с использованием следующей формулы:
[
\sin 2x = 2\sin x \cos x.
]
Подставим это в уравнение:
[
\cos^2 x + 4(2\sin x \cos x) = 2(2\sin x \cos x).
]
Это упростится до:
[
\cos^2 x + 8\sin x \cos x = 4\sin x \cos x.
]
Переносим все с одной стороны:
[
\cos^2 x + 8\sin x \cos x - 4\sin x \cos x = 0,
]
что, в свою очередь, упрощается до:
[
\cos^2 x + 4\sin x \cos x = 0.
]
Теперь мы можем выделить общий множитель:
[
\cos x (\cos x + 4\sin x) = 0.
]
Это уравнение дает два случая:
- ( \cos x = 0 )
- ( \cos x + 4\sin x = 0 )
Решим первый случай:
- ( \cos x = 0 ) приводит к ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) – целое число.
Теперь рассмотрим второй случай:
- ( \cos x + 4\sin x = 0 ) приводит к ( \cos x = -4\sin x ).
Чтобы выразить ( \tan x ), разделим обе стороны на ( \cos x ) (при условии, что ( \cos x \neq 0 )):
[
1 = -4\tan x \implies \tan x = -\frac{1}{4}.
]
Теперь найдем углы ( x ):
[
x = \arctan\left(-\frac{1}{4}\right) + k\pi,
]
где ( k ) – целое число.
Таким образом, окончательные решения для уравнения ( \cos^2 x + 4\sin 2x = 2\sin 2x ) будут:
- ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi )
- ( x = \arctan\left(-\frac{1}{4}\right) + k\pi )
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно подробное пояснение по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!