F(x) = x³ - 9x² -21x - 7 [-2;3]
Давайте решим задачу с функцией \( f(x) = x^3 - 9x^2 - 21x - 7 \) на интервале \([-2; 3]\). Мы можем начать с анализа функции, рассмотрев её поведение, а затем найдем важные характеристики, такие как корни, максимум и минимум.
Найдём производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 18x - 21 \] Это поможет нам определить критические точки, где функция может иметь максимумы, минимумы или точки перегиба.
Найдем критические точки: Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 18x - 21 = 0 \] Упростим: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Используя формулу для решения квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -1 \]
Определяем значения функции на интервале: Мы исследуем значения функции на границах интервала и в точках, которые мы нашли:
- \( f(-2) \)
- \( f(-1) \)
- \( f(3) \)
Вычисляем значения функции:
- \( f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 - 21(-2) - 7 = -8 - 36 + 42 - 7 = -9 \)
- \( f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 - 21(-1) - 7 = -1 - 9 + 21 - 7 = 4 \)
- \( f(3) = (3)^3 - 9(3)^2 - 21(3) - 7 = 27 - 81 - 63 - 7 = -124 \)
Сравниваем значения: Теперь нам нужно сравнить результаты:
- \( f(-2) = -9 \)
- \( f(-1) = 4 \)
- \( f(3) = -124 \)
Таким образом, на интервале \([-2; 3]\) мы видим, что максимальное значение функции соответствует \( f(-1) = 4 \), а минимальное значение — это \( f(3) = -124 \).
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или по другим материалам, не стесняйтесь спрашивать!
