f(x) = (x²-x-5) × e^4-x [1;6]
Для нахождения значений функции \( f(x) = (x^2 - x - 5) \times e^{4 - x} \) на интервале [1; 6] важно разобрать несколько этапов.
Вычислим значения функции на концах интервала:
- Для \( x = 1 \): \[ f(1) = (1^2 - 1 - 5) \times e^{4 - 1} = (1 - 1 - 5) \times e^3 = -5 \times e^3 \]
- Для \( x = 6 \): \[ f(6) = (6^2 - 6 - 5) \times e^{4 - 6} = (36 - 6 - 5) \times e^{-2} = 25 \times e^{-2} \]
Найдем производную функции, чтобы определить критические точки: Используем правило произведения для нахождения \( f'(x) \): \[ f'(x) = (2x - 1) \times e^{4 - x} + (x^2 - x - 5) \times (-e^{4 - x}) \] Упрощаем: \[ f'(x) = e^{4 - x} \left( (2x - 1) - (x^2 - x - 5) \right) \] \[ f'(x) = e^{4 - x} \left( 2x - 1 - x^2 + x + 5 \right) \] \[ f'(x) = e^{4 - x} \left( -x^2 + 3x + 4 \right) \]
Найдем корни уравнения \( -x^2 + 3x + 4 = 0 \): Для этого используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-1)(4) = 9 + 16 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{-2} \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -4 \] Но только \( x_1 = 1 \) попадает в интервал [1; 6].
Определим значения функции на критической точке:
- Теперь вычислим \( f(1) \), что мы уже сделали, и можем попробовать другие точки, например, равномерно распределенные по интервалу, такие как \( x = 2, 3, 4, 5 \).
Например, давайте найдем \( f(2) \): \[ f(2) = (2^2 - 2 - 5) \times e^{4 - 2} = (4 - 2 - 5) \times e^2 = -3 \times e^2 \]
Таким образом, вы можете использовать этот метод, чтобы найти функции на других значениях \( x \), а затем сравнить результаты, чтобы определить максимумы и минимумы на интервале.
Если вам нужны дальнейшие вычисления или какие-то дополнительные объяснения, пожалуйста, дайте знать!
