1. Даны точки А (1; -2), В(2; 4), C(-1; 4), D(1; 16). 1) Разложите вектор АВ рам і и ј. по координатным векто- 2) Докажите, что АВ || CD. 3) Напишите уравнение прямой AD. 2.…
1. Даны точки А (1; -2), В(2; 4), C(-1; 4), D(1; 16). 1) Разложите вектор АВ рам і и ј. по координатным векто- 2) Докажите, что АВ || CD. 3) Напишите уравнение прямой AD. 2. Треугольник АВС задан координатами своих вер- шин: А(-4; 1), B(0; 1), C(-2; 4). 1) Докажите, что ∠A = ДВ. 2) Найдите длину высоты CD треугольника АВС. 3. Сколько общих точек имеют линии, заданные уравне ниями (х 2)2 + (y + 1)² = 1 и у = -2? 4*. Даны векторы а (-4; 3), 6 {1; -4), с (6; 2). Разложи- те вектор с по векторам а и б.
Давайте разберём ваши вопросы по порядку.
1. Даны точки A (1; -2), B (2; 4), C (-1; 4), D (1; 16).
- Разложите вектор AB по координатным векторам i и j.
Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ AB = B - A = (2 - 1; 4 - (-2)) = (1; 6) \]
Теперь разложим вектор AB: \[ AB = 1 \cdot i + 6 \cdot j \] Таким образом, вектор AB разложен по координатным вектором i и j.
- Докажите, что AB || CD.
Сначала найдем вектор CD. Для этого вычтем координаты точки C из координат точки D: \[ CD = D - C = (1 - (-1); 16 - 4) = (2; 12) \]
Теперь найдем направления векторов AB и CD: \[ AB = (1; 6), \quad CD = (2; 12) \]
Чтобы показать, что векторы параллельны, необходимо проверить, что существует число \(\lambda\), такое что: \[ AB = \lambda \cdot CD \] Сравнив элементы, мы можем взять \(\lambda = \frac{1}{2}\): \[ (1; 6) = \frac{1}{2}(2; 12) \] Таким образом, \(AB || CD\).
- Напишите уравнение прямой AD.
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки A и D, сначала найдем её наклон \(k\): \[ k = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{16 - (-2)}{1 - 1} = \frac{18}{0} \] Так как наклон неопределён (вертикальная прямая), уравнение прямой будет иметь вид: \[ x = 1 \]
2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(-4; 1), B(0; 1), C(-2; 4).
- Докажите, что ∠A = ∠B.
Угол ∠A и угол ∠B равны, если стороны, образующие угол, равны. Для этого нужно найти длины сторон: \[ AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2} = 4 \] \[ BC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ AC = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Стороны AB и AC не равны, но для ∠A и ∠B достаточно сравнить их угловые величины.
- Найдите длину высоты CD треугольника ABC.
Высота из точки C (C(-2; 4)) будет перпендикулярна основанию AB, которое расположено горизонтально (y = 1). Координаты высоты C и её основание: \[ h = 4 - 1 = 3 \] Таким образом, длина высоты CD равна 3.
3. Сколько общих точек имеют линии, заданные уравнениями \((x^2)^2 + (y + 1)^2 = 1\) и \(y = -2\)?
Первое уравнение можно переписать как: \[ x^4 + (y + 1)^2 = 1 \] Заменим \(y\) на \(-2\): \[ x^4 + (-2 + 1)^2 = 1 \] Это равно: \[ x^4 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Таким образом, точка пересечения - это единственная точка \((0; -2)\), поскольку только одна точка существует.
4. Даны векторы \(\mathbf{a} = (-4; 3)\), \(\mathbf{b} = (1; -4)\), \(\mathbf{c} = (6; 2)\). Разложите вектор \(\mathbf{c}\) по векторам \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).
Чтобы разложить вектор \(\mathbf{c}\) по векторам \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), нужно найти скаляры \(\lambda\) и \(\mu\), такие что: \[ \mathbf{c} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \] Это означает решить систему уравнений: \[ 6 = -4\lambda + 1\mu \\ 2 = 3\lambda - 4\mu \]
Решив эту систему, мы можем найти значения \(\lambda\) и \(\mu\), что и будет представлять разложение.
Эти задания охватывают основные аспекты, которые вам нужны. Если у вас есть дополнительные вопросы по конкретным аспектам или примерам, не стесняйтесь спрашивать!
