Федя купил конфеты для друзей . Если будет раздавать по 6 конфет то у него останется 3 конфетки. если он будет раздавать по 7 конфет, ему не хватить 5 конфет. Сколько конфет купил Федя?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим количество конфет, которые купил Федя, как \( x \).
Согласно условию, если он будет раздавать по 6 конфет, то у него останется 3 конфетки. Это можно выразить уравнением:
\[ x = 6k + 3 \]
где \( k \) — это количество друзей, которым Федя раздает конфеты.
Если он будет раздавать по 7 конфет, ему не хватит 5 конфет, что можно записать так:
\[ x = 7m + 2 \]
где \( m \) — это количество друзей в этом случае.
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( x = 6k + 3 \)
- \( x = 7m + 2 \)
Приравняем правые части этих уравнений:
\[ 6k + 3 = 7m + 2 \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ 6k - 7m = -1 \]
Это диофантово уравнение, которое мы можем решить. Перепишем его в более удобной форме:
\[ 6k = 7m - 1 \]
Теперь, чтобы найти целые решения, можем проверить разные значения \( m \), чтобы найти \( k \), которое будет целым.
Пусть \( m = 1 \):
\[ 6k = 7 \cdot 1 - 1 = 6 \rightarrow k = 1 \]
Пусть \( m = 2 \):
\[ 6k = 7 \cdot 2 - 1 = 14 - 1 = 13 \rightarrow k = \frac{13}{6} \quad \text{(не целое)} \]
Пусть \( m = 3 \):
\[ 6k = 7 \cdot 3 - 1 = 21 - 1 = 20 \rightarrow k = \frac{20}{6} \quad \text{(не целое)} \]
Пусть \( m = 4 \):
\[ 6k = 7 \cdot 4 - 1 = 28 - 1 = 27 \rightarrow k = \frac{27}{6} \quad \text{(не целое)} \]
Пусть \( m = 5 \):
\[ 6k = 7 \cdot 5 - 1 = 35 - 1 = 34 \rightarrow k = \frac{34}{6} \quad \text{(не целое)} \]
Пусть \( m = 6 \):
\[ 6k = 7 \cdot 6 - 1 = 42 - 1 = 41 \rightarrow k = \frac{41}{6} \quad \text{(не целое)} \]
Пусть \( m = 7 \):
\[ 6k = 7 \cdot 7 - 1 = 49 - 1 = 48 \rightarrow k = 8 \]
Теперь у нас есть \( m = 7 \) и \( k = 8 \).
Теперь подставим \( k \) или \( m \) обратно в одно из уравнений для вычисления \( x \):
\[ x = 6k + 3 = 6 \cdot 8 + 3 = 48 + 3 = 51 \]
Или:
\[ x = 7m + 2 = 7 \cdot 7 + 2 = 49 + 2 = 51 \]
Таким образом, Федя купил 51 конфету.
